Integral de log(1-1/x)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x}\right)}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\left(1 - \frac{1}{x}\right) \log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} - 1 + \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x}\right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u}{u - 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u - 1} = 1 + \frac{1}{u - 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. que $u = u - 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 1 \right)}$

            El resultado es: $u + \log{\left(u - 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{- x + \left(x - 1\right) \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{- x + \left(x - 1\right) \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- x + \left(x - 1\right) \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}+ \mathrm{constant}$