Integral de sin2x/3sin(x)^2+4 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{2 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx}{3}$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{6}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} \sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{2 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx}{3}$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{6}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 4\, dx = 4 x$

   El resultado es: $4 x + \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $4 x + \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$4 x + \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$