Integral de 4*(x^4-1)^2*x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{4} - 1$.

      Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{4} - 1\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \cdot 4 \left(x^{4} - 1\right)^{2} = 4 x^{11} - 8 x^{7} + 4 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{11}\, dx = 4 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x^{7}\right)\, dx = - 8 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{3}\, dx = 4 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{12}}{3} - x^{8} + x^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{4} - 1\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{4} - 1\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{4} - 1\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$