Integral de x^2ln(1+x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x + 1}\, dx}{3}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{x + 1} = x^{2} - x + 1 - \frac{1}{x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left(x + 1 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$