Sr Examen
Integral de (3x-1)/(x^2-x+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 3*x - 1 | ---------- dx | 2 | x - x + 1 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x - 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx$$
Integral((3*x - 1)/(x^2 - x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 3*x - 1 | ---------- dx | 2 | x - x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
2*x - 1
3*---------- / 1 \
2 |-----|
3*x - 1 x - x + 1 \2*3/4/
---------- = ------------ + -------------------------
2 2 2
x - x + 1 / ___ ___\
|-2*\/ 3 \/ 3 |
|--------*x + -----| + 1
\ 3 3 / o
/ | | 3*x - 1 | ---------- dx | 2 = | x - x + 1 | /
/
|
| 1
2* | ------------------------- dx /
| 2 |
| / ___ ___\ | 2*x - 1
| |-2*\/ 3 \/ 3 | 3* | ---------- dx
| |--------*x + -----| + 1 | 2
| \ 3 3 / | x - x + 1
| |
/ /
--------------------------------- + ------------------
3 2 En integral
/
|
| 2*x - 1
3* | ---------- dx
| 2
| x - x + 1
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x - x
entonces
integral =
/
|
| 1
3* | ----- du
| 1 + u
|
/ 3*log(1 + u)
------------- = ------------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x - 1
3* | ---------- dx
| 2
| x - x + 1
| / 2 \
/ 3*log\1 + x - x/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/
|
| 1
2* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x + -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/
---------------------------------
3 hacemos el cambio
___ ___
\/ 3 2*x*\/ 3
v = ----- - ---------
3 3 entonces
integral =
/
|
| 1
2* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ 2*atan(v)
-------------- = ---------
3 3 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
2* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x + -----| + 1 / ___ ___\
| \ 3 3 / ___ | \/ 3 2*x*\/ 3 |
| \/ 3 *atan|- ----- + ---------|
/ \ 3 3 /
--------------------------------- = -------------------------------
3 3 La solución:
/ ___ ___\
___ | \/ 3 2*x*\/ 3 |
/ 2 \ \/ 3 *atan|- ----- + ---------|
3*log\1 + x - x/ \ 3 3 /
C + ----------------- + -------------------------------
2 3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |2*\/ 3 *(-1/2 + x)| | / 2 \ \/ 3 *atan|------------------| | 3*x - 1 3*log\1 + x - x/ \ 3 / | ---------- dx = C + ----------------- + ------------------------------ | 2 2 3 | x - x + 1 | /
$$\int \frac{3 x - 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___ pi*\/ 3 -------- 9
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{9}$$
=
=
___ pi*\/ 3 -------- 9
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{9}$$
pi*sqrt(3)/9
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.