Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x+1)/ (x-2)/ 1/((x-2)(x+1)^2)

Integral de 1/((x-2)(x+1)^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |         1           
 |  ---------------- dx
 |                 2   
 |  (x - 2)*(x + 1)    
 |                     
/                      
0
∫011(x−2)(x+1)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}}\, dx 
Integral(1/((x - 2)*(x + 1)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x−2)(x+1)2=−19(x+1)−13(x+1)2+19(x−2)\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{1}{9 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{9 \left(x - 2\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−19(x+1)) dx=−∫1x+1 dx9\int \left(- \frac{1}{9 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{9}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)9- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−13(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx}{3}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+1- \frac{1}{x + 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 13(x+1)\frac{1}{3 \left(x + 1\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫19(x−2) dx=∫1x−2 dx9\int \frac{1}{9 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{9}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)9\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{9}

      El resultado es: log⁡(x−2)9−log⁡(x+1)9+13(x+1)\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{9} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{9} + \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x−2)(x+1)2=1x3−3x−2\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{3} - 3 x - 2}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3−3x−2=−19(x+1)−13(x+1)2+19(x−2)\frac{1}{x^{3} - 3 x - 2} = - \frac{1}{9 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{9 \left(x - 2\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−19(x+1)) dx=−∫1x+1 dx9\int \left(- \frac{1}{9 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{9}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)9- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−13(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx}{3}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+1- \frac{1}{x + 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 13(x+1)\frac{1}{3 \left(x + 1\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫19(x−2) dx=∫1x−2 dx9\int \frac{1}{9 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{9}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)9\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{9}

      El resultado es: log⁡(x−2)9−log⁡(x+1)9+13(x+1)\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{9} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{9} + \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x−2)(x+1)2=1x3−3x−2\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{3} - 3 x - 2}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3−3x−2=−19(x+1)−13(x+1)2+19(x−2)\frac{1}{x^{3} - 3 x - 2} = - \frac{1}{9 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{9 \left(x - 2\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−19(x+1)) dx=−∫1x+1 dx9\int \left(- \frac{1}{9 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{9}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)9- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−13(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx}{3}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+1- \frac{1}{x + 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 13(x+1)\frac{1}{3 \left(x + 1\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫19(x−2) dx=∫1x−2 dx9\int \frac{1}{9 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{9}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)9\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{9}

      El resultado es: log⁡(x−2)9−log⁡(x+1)9+13(x+1)\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{9} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{9} + \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}

  2. Ahora simplificar:

    (x+1)(log⁡(x−2)−log⁡(x+1))+39(x+1)\frac{\left(x + 1\right) \left(\log{\left(x - 2 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}\right) + 3}{9 \left(x + 1\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x+1)(log⁡(x−2)−log⁡(x+1))+39(x+1)+constant\frac{\left(x + 1\right) \left(\log{\left(x - 2 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}\right) + 3}{9 \left(x + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x+1)(log⁡(x−2)−log⁡(x+1))+39(x+1)+constant\frac{\left(x + 1\right) \left(\log{\left(x - 2 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}\right) + 3}{9 \left(x + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                                                               
 |        1                  log(1 + x)       1       log(-2 + x)
 | ---------------- dx = C - ---------- + --------- + -----------
 |                2              9        3*(1 + x)        9     
 | (x - 2)*(x + 1)                                               
 |                                                               
/
∫1(x−2)(x+1)2 dx=C+log⁡(x−2)9−log⁡(x+1)9+13(x+1)\int \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}}\, dx = C + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{9} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{9} + \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-0.750.00
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   2*log(2)
- - - --------
  6      9
−16−2log⁡(2)9- \frac{1}{6} - \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{9} 
=
= 
  1   2*log(2)
- - - --------
  6      9
−16−2log⁡(2)9- \frac{1}{6} - \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{9} 
-1/6 - 2*log(2)/9
Respuesta numérica [src] 
-0.320699373457766
-0.320699373457766

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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