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Resolución de integrales/ e(-x)/ e(-x)*sin2*x

Integral de e(-x)*sin2*x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |  E*(-x)*sin(2*x) dx
 |                    
/                     
0
∫01e(−x)sin⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} e \left(- x\right) \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((E*(-x))*sin(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−exu{\left(x \right)} = - e x y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−e\operatorname{du}{\left(x \right)} = - e.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Método #2

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫ecos⁡(2x)2 dx=e∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{e \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{e \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: esin⁡(2x)4\frac{e \sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Método #2

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2exsin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−2e∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 e x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 e \int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)4) dx=−∫cos⁡(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)8- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: −2e(−xcos⁡(2x)4+sin⁡(2x)8)- 2 e \left(- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}\right)

  2. Ahora simplificar:

    e(2xcos⁡(2x)−sin⁡(2x))4\frac{e \left(2 x \cos{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    e(2xcos⁡(2x)−sin⁡(2x))4+constant\frac{e \left(2 x \cos{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

e(2xcos⁡(2x)−sin⁡(2x))4+constant\frac{e \left(2 x \cos{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                          E*sin(2*x)   E*x*cos(2*x)
 | E*(-x)*sin(2*x) dx = C - ---------- + ------------
 |                              4             2      
/
∫e(−x)sin⁡(2x) dx=C+excos⁡(2x)2−esin⁡(2x)4\int e \left(- x\right) \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{e x \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{e \sin{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5.02.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   /  cos(2)   sin(2)\
-E*|- ------ + ------|
   \    2        4   /
−e(−cos⁡(2)2+sin⁡(2)4)- e \left(- \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4}\right) 
=
= 
   /  cos(2)   sin(2)\
-E*|- ------ + ------|
   \    2        4   /
−e(−cos⁡(2)2+sin⁡(2)4)- e \left(- \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4}\right) 
-E*(-cos(2)/2 + sin(2)/4)
Respuesta numérica [src] 
-1.18353385987961
-1.18353385987961

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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