Integral de x^4-x*(e^x+6)/x dx

1. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x \left(e^{x} + 6\right)}{x}\right)\, dx = - \int \frac{x \left(e^{x} + 6\right)}{x}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}} + 6}{u^{2}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{\frac{1}{u}} + 6}{u^{2}}\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}} + 6}{u^{2}}\, du$

               1. que $u = e^{\frac{1}{u}}$.

                  Luego que $du = - \frac{e^{\frac{1}{u}} du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \frac{u + 6}{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u + 6}{u}\, du = - \int \frac{u + 6}{u}\, du$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{u + 6}{u} = 1 + \frac{6}{u}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{6}{u}\, du = 6 \int \frac{1}{u}\, du$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(u \right)}$

                        El resultado es: $u + 6 \log{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- u - 6 \log{\left(u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- e^{\frac{1}{u}} - 6 \log{\left(e^{\frac{1}{u}} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $e^{\frac{1}{u}} + 6 \log{\left(e^{\frac{1}{u}} \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $e^{x} + 6 \log{\left(e^{x} \right)}$

         Método #2

         1. que $u = e^{x}$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u + 6}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 6}{u} = 1 + \frac{6}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{6}{u}\, du = 6 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 6 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $e^{x} + 6 \log{\left(e^{x} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- e^{x} - 6 \log{\left(e^{x} \right)}$

   El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} - e^{x} - 6 \log{\left(e^{x} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{5}}{5} - e^{x} - 6 \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{5}}{5} - e^{x} - 6 \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$