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Resolución de integrales/ cos(3x)/ (3x)^4/ cos(3x)^4

Integral de cos(3x)^4 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  cos (3*x) dx
 |              
/               
0
∫01cos⁡4(3x) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{4}{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral(cos(3*x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡4(3x)=(cos⁡(6x)2+12)2\cos^{4}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(6x)2+12)2=cos⁡2(6x)4+cos⁡(6x)2+14\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(6x)4 dx=∫cos⁡2(6x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(6x)=cos⁡(12x)2+12\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(12x)2 dx=∫cos⁡(12x) dx2\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=12xu = 12 x.

              Luego que du=12dxdu = 12 dx y ponemos du12\frac{du}{12}:

              ∫cos⁡(u)12 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du12\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)12\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(12x)12\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(12x)24\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(12x)24\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(12x)96\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(6x)2 dx=∫cos⁡(6x) dx2\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=6xu = 6 x.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫cos⁡(u)6 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(6x)12\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8+sin⁡(6x)12+sin⁡(12x)96\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(6x)2+12)2=cos⁡2(6x)4+cos⁡(6x)2+14\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(6x)4 dx=∫cos⁡2(6x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(6x)=cos⁡(12x)2+12\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(12x)2 dx=∫cos⁡(12x) dx2\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=12xu = 12 x.

              Luego que du=12dxdu = 12 dx y ponemos du12\frac{du}{12}:

              ∫cos⁡(u)12 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du12\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)12\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(12x)12\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(12x)24\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(12x)24\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(12x)96\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(6x)2 dx=∫cos⁡(6x) dx2\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=6xu = 6 x.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫cos⁡(u)6 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(6x)12\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8+sin⁡(6x)12+sin⁡(12x)96\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x8+sin⁡(6x)12+sin⁡(12x)96+constant\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x8+sin⁡(6x)12+sin⁡(12x)96+constant\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                              
 |    4               sin(6*x)   sin(12*x)   3*x
 | cos (3*x) dx = C + -------- + --------- + ---
 |                       12          96       8 
/
∫cos⁡4(3x) dx=C+3x8+sin⁡(6x)12+sin⁡(12x)96\int \cos^{4}{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                       3          
3   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
- + ------------- + --------------
8         8               12
sin⁡(3)cos⁡(3)8+sin⁡(3)cos⁡3(3)12+38\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{12} + \frac{3}{8} 
=
= 
                       3          
3   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
- + ------------- + --------------
8         8               12
sin⁡(3)cos⁡(3)8+sin⁡(3)cos⁡3(3)12+38\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{12} + \frac{3}{8} 
3/8 + cos(3)*sin(3)/8 + cos(3)^3*sin(3)/12
Respuesta numérica [src] 
0.346126073920918
0.346126073920918

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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