Sr Examen

Otras calculadoras

Integral de e^(-2x)*cos(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 oo                  
  /                  
 |                   
 |   -2*x            
 |  E    *cos(2*x) dx
 |                   
/                    
E                    
$$\int\limits_{e}^{\infty} e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$
Integral(E^(-2*x)*cos(2*x), (x, E, oo))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que .

      Luego que y ponemos :

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

          1. Para el integrando :

            que y que .

            Entonces .

          2. Para el integrando :

            que y que .

            Entonces .

          3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            Por lo tanto,

        Por lo tanto, el resultado es:

      Si ahora sustituir más en:

    Método #2

    1. que .

      Luego que y ponemos :

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. que .

          Luego que y ponemos :

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

              1. Para el integrando :

                que y que .

                Entonces .

              2. Para el integrando :

                que y que .

                Entonces .

              3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                Por lo tanto,

            Por lo tanto, el resultado es:

          Si ahora sustituir más en:

        Por lo tanto, el resultado es:

      Si ahora sustituir más en:

  2. Ahora simplificar:

  3. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                       
 |                                   -2*x    -2*x         
 |  -2*x                   cos(2*x)*e       e    *sin(2*x)
 | E    *cos(2*x) dx = C - -------------- + --------------
 |                               4                4       
/                                                         
$$\int e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}$$
Gráfica
Respuesta [src]
         /       /                 pi*I\          /                 pi*I\\       pi*I           |       /          pi*I\        /          pi*I\|                     /       /                pi*I\          /                pi*I\\       -pi*I                        
         |       |                 ----|          |                 ----||       ----           |       |          ----|        |          ----||                     |       |                ----|          |                ----||       ------                       
   4 ___ |       |            ___   4  |          |            ___   4  ||  1/2   8         3/2 |       |           2  |        |           2  ||               4 ___ |       |           ___   4  |          |           ___   4  ||  1/2    8                          
pi*\/ 2 *\besseli\-1/2, 2*E*\/ 2 *e    / + besselj\-1/2, 2*E*\/ 2 *e    //*e   *e       E*pi   *|besseli\1/2, 2*E*e    /*besselj\1/2, 2*E*e    /|*Gamma(-1/4)   \/ 2 *\besseli\1/2, 2*E*\/ 2 *e    / + besselj\1/2, 2*E*\/ 2 *e    //*e   *e      *Gamma(-1/4)*Gamma(1/4)
------------------------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                          2                                                                          4*Gamma(3/4)                                                                                   8                                                    
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                     ____                                                                                                                                
                                                                                                                                 4*\/ pi                                                                                                                                 
$$\frac{\frac{e \pi^{\frac{3}{2}} \left|{I_{\frac{1}{2}}\left(2 e e^{\frac{i \pi}{2}}\right) J_{\frac{1}{2}}\left(2 e e^{\frac{i \pi}{2}}\right)}\right| \Gamma\left(- \frac{1}{4}\right)}{4 \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)} + \frac{\sqrt[4]{2} \pi \left(I_{- \frac{1}{2}}\left(2 \sqrt{2} e e^{\frac{i \pi}{4}}\right) + J_{- \frac{1}{2}}\left(2 \sqrt{2} e e^{\frac{i \pi}{4}}\right)\right) e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{i \pi}{8}}}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \left(I_{\frac{1}{2}}\left(2 \sqrt{2} e e^{\frac{i \pi}{4}}\right) + J_{\frac{1}{2}}\left(2 \sqrt{2} e e^{\frac{i \pi}{4}}\right)\right) e^{\frac{1}{2}} e^{- \frac{i \pi}{8}} \Gamma\left(- \frac{1}{4}\right) \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}{8}}{4 \sqrt{\pi}}$$
=
=
         /       /                 pi*I\          /                 pi*I\\       pi*I           |       /          pi*I\        /          pi*I\|                     /       /                pi*I\          /                pi*I\\       -pi*I                        
         |       |                 ----|          |                 ----||       ----           |       |          ----|        |          ----||                     |       |                ----|          |                ----||       ------                       
   4 ___ |       |            ___   4  |          |            ___   4  ||  1/2   8         3/2 |       |           2  |        |           2  ||               4 ___ |       |           ___   4  |          |           ___   4  ||  1/2    8                          
pi*\/ 2 *\besseli\-1/2, 2*E*\/ 2 *e    / + besselj\-1/2, 2*E*\/ 2 *e    //*e   *e       E*pi   *|besseli\1/2, 2*E*e    /*besselj\1/2, 2*E*e    /|*Gamma(-1/4)   \/ 2 *\besseli\1/2, 2*E*\/ 2 *e    / + besselj\1/2, 2*E*\/ 2 *e    //*e   *e      *Gamma(-1/4)*Gamma(1/4)
------------------------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                          2                                                                          4*Gamma(3/4)                                                                                   8                                                    
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                     ____                                                                                                                                
                                                                                                                                 4*\/ pi                                                                                                                                 
$$\frac{\frac{e \pi^{\frac{3}{2}} \left|{I_{\frac{1}{2}}\left(2 e e^{\frac{i \pi}{2}}\right) J_{\frac{1}{2}}\left(2 e e^{\frac{i \pi}{2}}\right)}\right| \Gamma\left(- \frac{1}{4}\right)}{4 \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)} + \frac{\sqrt[4]{2} \pi \left(I_{- \frac{1}{2}}\left(2 \sqrt{2} e e^{\frac{i \pi}{4}}\right) + J_{- \frac{1}{2}}\left(2 \sqrt{2} e e^{\frac{i \pi}{4}}\right)\right) e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{i \pi}{8}}}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \left(I_{\frac{1}{2}}\left(2 \sqrt{2} e e^{\frac{i \pi}{4}}\right) + J_{\frac{1}{2}}\left(2 \sqrt{2} e e^{\frac{i \pi}{4}}\right)\right) e^{\frac{1}{2}} e^{- \frac{i \pi}{8}} \Gamma\left(- \frac{1}{4}\right) \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}{8}}{4 \sqrt{\pi}}$$
(pi*2^(1/4)*(besseli(-1/2, 2*E*sqrt(2)*exp_polar(pi*i/4)) + besselj(-1/2, 2*E*sqrt(2)*exp_polar(pi*i/4)))*exp(1/2)*exp(pi*i/8)/2 + E*pi^(3/2)*Abs(besseli(1/2, 2*E*exp_polar(pi*i/2))*besselj(1/2, 2*E*exp_polar(pi*i/2)))*gamma(-1/4)/(4*gamma(3/4)) + 2^(1/4)*(besseli(1/2, 2*E*sqrt(2)*exp_polar(pi*i/4)) + besselj(1/2, 2*E*sqrt(2)*exp_polar(pi*i/4)))*exp(1/2)*exp(-pi*i/8)*gamma(-1/4)*gamma(1/4)/8)/(4*sqrt(pi))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.