Integral de cos2xdx/cosxsinx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Método #2

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

   El resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$