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Resolución de integrales/ xsinx/ (cosx)/ cosxsinx+(cosx)^2

Integral de cosxsinx+(cosx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  E                             
  /                             
 |                              
 |  /                   2   \   
 |  \cos(x)*sin(x) + cos (x)/ dx
 |                              
/                               
1
∫1e(sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡2(x)) dx\int\limits_{1}^{e} \left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(cos(x)*sin(x) + cos(x)^2, (x, 1, E))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Método #2

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u du\int u\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    El resultado es: x2+sin⁡(2x)4−cos⁡2(x)2\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    x2−2cos⁡(2x+π4)4−14\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} - \frac{1}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2−2cos⁡(2x+π4)4−14+constant\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2−2cos⁡(2x+π4)4−14+constant\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                                           2              
 | /                   2   \          x   cos (x)   sin(2*x)
 | \cos(x)*sin(x) + cos (x)/ dx = C + - - ------- + --------
 |                                    2      2         4    
/
∫(sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡2(x)) dx=C+x2+sin⁡(2x)4−cos⁡2(x)2\int \left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
1.01.21.41.61.82.02.22.42.62-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
             2         2                                   
  1   E   sin (E)   sin (1)   cos(E)*sin(E)   cos(1)*sin(1)
- - + - + ------- - ------- + ------------- - -------------
  2   2      2         2            2               2
−12−sin⁡2(1)2−sin⁡(1)cos⁡(1)2+sin⁡(e)cos⁡(e)2+sin⁡2(e)2+e2- \frac{1}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(e \right)} \cos{\left(e \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(e \right)}}{2} + \frac{e}{2} 
=
= 
             2         2                                   
  1   E   sin (E)   sin (1)   cos(E)*sin(E)   cos(1)*sin(1)
- - + - + ------- - ------- + ------------- - -------------
  2   2      2         2            2               2
−12−sin⁡2(1)2−sin⁡(1)cos⁡(1)2+sin⁡(e)cos⁡(e)2+sin⁡2(e)2+e2- \frac{1}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(e \right)} \cos{\left(e \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(e \right)}}{2} + \frac{e}{2} 
-1/2 + E/2 + sin(E)^2/2 - sin(1)^2/2 + cos(E)*sin(E)/2 - cos(1)*sin(1)/2
Respuesta numérica [src] 
0.174888865644205
0.174888865644205

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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