Integral de 2*e^(3*t)*sin(2*t) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 4 e^{3 t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt = 4 \int e^{3 t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{3 t}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = - \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}$.

      Para buscar $v{\left(t \right)}$:

      1. que $u = 3 t$.

         Luego que $du = 3 dt$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{3 t}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right) e^{3 t}}{3}\, dt = \frac{\int \left(- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right) e^{3 t}\, dt}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right) e^{3 t} = - e^{3 t} \sin^{2}{\left(t \right)} + e^{3 t} \cos^{2}{\left(t \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{3 t} \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int e^{3 t} \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{11 e^{3 t} \sin^{2}{\left(t \right)}}{39} - \frac{2 e^{3 t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{13} + \frac{2 e^{3 t} \cos^{2}{\left(t \right)}}{39}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{11 e^{3 t} \sin^{2}{\left(t \right)}}{39} + \frac{2 e^{3 t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{13} - \frac{2 e^{3 t} \cos^{2}{\left(t \right)}}{39}$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{2 e^{3 t} \sin^{2}{\left(t \right)}}{39} + \frac{2 e^{3 t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{13} + \frac{11 e^{3 t} \cos^{2}{\left(t \right)}}{39}$

         El resultado es: $- \frac{3 e^{3 t} \sin^{2}{\left(t \right)}}{13} + \frac{4 e^{3 t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{13} + \frac{3 e^{3 t} \cos^{2}{\left(t \right)}}{13}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{3 t} \sin^{2}{\left(t \right)}}{13} + \frac{4 e^{3 t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{39} + \frac{e^{3 t} \cos^{2}{\left(t \right)}}{13}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 e^{3 t} \sin^{2}{\left(t \right)}}{13} + \frac{12 e^{3 t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{13} - \frac{4 e^{3 t} \cos^{2}{\left(t \right)}}{13}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(3 \sin{\left(2 t \right)} - 2 \cos{\left(2 t \right)}\right) e^{3 t}}{13}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(3 \sin{\left(2 t \right)} - 2 \cos{\left(2 t \right)}\right) e^{3 t}}{13}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(3 \sin{\left(2 t \right)} - 2 \cos{\left(2 t \right)}\right) e^{3 t}}{13}+ \mathrm{constant}$