Integral de log(x)/x^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{- \frac{u}{2}}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- \frac{u}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = - \frac{u}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 e^{- \frac{u}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{- \frac{u}{2}}\right)\, du = - 2 \int e^{- \frac{u}{2}}\, du$

         1. que $u = - \frac{u}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 e^{- \frac{u}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{- \frac{u}{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{\sqrt{x}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 \log{\left(x \right)} + 4}{\sqrt{x}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \log{\left(x \right)} + 4}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \log{\left(x \right)} + 4}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$