Integral de log(2x)/(xlog(4x)) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1              
  /              
 |               
 |   log(2*x)    
 |  ---------- dx
 |  x*log(4*x)   
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x \log{\left(4 x \right)}}\, dx$$

Integral(log(2*x)/((x*log(4*x))), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(2 x \right)}}{x \log{\left(4 x \right)}} = \frac{\log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}}{x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}}$
2. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \frac{u + \log{\left(2 \right)}}{u + 2 \log{\left(2 \right)}}\, du$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{u + \log{\left(2 \right)}}{u + 2 \log{\left(2 \right)}} = 1 - \frac{\log{\left(2 \right)}}{u + 2 \log{\left(2 \right)}}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\log{\left(2 \right)}}{u + 2 \log{\left(2 \right)}}\right)\, du = - \log{\left(2 \right)} \int \frac{1}{u + 2 \log{\left(2 \right)}}\, du$
      
      que $u = u + 2 \log{\left(2 \right)}$ .
      
      Luego que $du = du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(u + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(2 \right)} \log{\left(u + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}$
    El resultado es: $u - \log{\left(2 \right)} \log{\left(u + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}$
Método #2
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \log{\left(4 x \right)}}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = \log{\left(4 x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\log{\left(\log{\left(4 x \right)} \right)}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. que $u = \frac{1}{x}$ .
  
  Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\, du$
    1. que $u = \frac{1}{u}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{du}{u \left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u e^{u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} - \log{\left(u \right)} - 2 \log{\left(2 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} + \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} - \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} + \log{\left(u \right)} - 2 \log{\left(2 \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} - \log{\left(x \right)} - 2 \log{\left(2 \right)}$
Ahora simplificar:

$\log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(4 x \right)} \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$\log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(4 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(4 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                          
 |                                                           
 |  log(2*x)                                                 
 | ---------- dx = C - log(2)*log(2*log(2) + log(x)) + log(x)
 | x*log(4*x)                                                
 |                                                           
/

$$\int \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x \log{\left(4 x \right)}}\, dx = C + \log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

nan

$$\text{NaN}$$

nan

$$\text{NaN}$$

nan

Respuesta numérica [src]

59.6786882263115

59.6786882263115

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de log(2x)/(xlog(4x)) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2