Integral de (2/cos^2x+4x+1/x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $2 x^{2} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

   El resultado es: $2 x^{2} + \log{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x^{2} + \log{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{2} + \log{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{2} + \log{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$