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Resolución de integrales/ t^2+1/ (t^2+1)/(t+1)

Integral de (t^2+1)/(t+1) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  9          
  /          
 |           
 |   2       
 |  t  + 1   
 |  ------ dt
 |  t + 1    
 |           
/            
4
∫49t2+1t+1 dt\int\limits_{4}^{9} \frac{t^{2} + 1}{t + 1}\, dt 
Integral((t^2 + 1)/(t + 1), (t, 4, 9))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      t2+1t+1=t−1+2t+1\frac{t^{2} + 1}{t + 1} = t - 1 + \frac{2}{t + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫t dt=t22\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−1) dt=−t\int \left(-1\right)\, dt = - t

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2t+1 dt=2∫1t+1 dt\int \frac{2}{t + 1}\, dt = 2 \int \frac{1}{t + 1}\, dt

        1. que u=t+1u = t + 1.

          Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(t+1)\log{\left(t + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(t+1)2 \log{\left(t + 1 \right)}

      El resultado es: t22−t+2log⁡(t+1)\frac{t^{2}}{2} - t + 2 \log{\left(t + 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      t2+1t+1=t2t+1+1t+1\frac{t^{2} + 1}{t + 1} = \frac{t^{2}}{t + 1} + \frac{1}{t + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        t2t+1=t−1+1t+1\frac{t^{2}}{t + 1} = t - 1 + \frac{1}{t + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫t dt=t22\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−1) dt=−t\int \left(-1\right)\, dt = - t

        1. que u=t+1u = t + 1.

          Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(t+1)\log{\left(t + 1 \right)}

        El resultado es: t22−t+log⁡(t+1)\frac{t^{2}}{2} - t + \log{\left(t + 1 \right)}

      1. que u=t+1u = t + 1.

        Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(t+1)\log{\left(t + 1 \right)}

      El resultado es: t22−t+log⁡(t+1)+log⁡(t+1)\frac{t^{2}}{2} - t + \log{\left(t + 1 \right)} + \log{\left(t + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    t22−t+2log⁡(t+1)+constant\frac{t^{2}}{2} - t + 2 \log{\left(t + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

t22−t+2log⁡(t+1)+constant\frac{t^{2}}{2} - t + 2 \log{\left(t + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                     
 |                                      
 |  2               2                   
 | t  + 1          t                    
 | ------ dt = C + -- - t + 2*log(1 + t)
 | t + 1           2                    
 |                                      
/
∫t2+1t+1 dt=C+t22−t+2log⁡(t+1)\int \frac{t^{2} + 1}{t + 1}\, dt = C + \frac{t^{2}}{2} - t + 2 \log{\left(t + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
4.09.04.55.05.56.06.57.07.58.08.5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
55/2 - 2*log(5) + 2*log(10)
−2log⁡(5)+2log⁡(10)+552- 2 \log{\left(5 \right)} + 2 \log{\left(10 \right)} + \frac{55}{2} 
=
= 
55/2 - 2*log(5) + 2*log(10)
−2log⁡(5)+2log⁡(10)+552- 2 \log{\left(5 \right)} + 2 \log{\left(10 \right)} + \frac{55}{2} 
55/2 - 2*log(5) + 2*log(10)
Respuesta numérica [src] 
28.8862943611199
28.8862943611199

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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