Integral de (x^6-x*2^x+3)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2^{\frac{1}{u}} u^{5} - 3 u^{6} - 1}{u^{7}}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{2^{u} u - u^{6} - 3}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2^{u} u - u^{6} - 3}{u}\, du = - \int \frac{2^{u} u - u^{6} - 3}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{2^{u} u - u^{6} - 3}{u} = 2^{u} - u^{5} - \frac{3}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{5}\right)\, du = - \int u^{5}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{3}{u}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $\frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{u^{6}}{6} - 3 \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{u^{6}}{6} + 3 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2^{\frac{1}{u}}}{\log{\left(2 \right)}} - 3 \log{\left(u \right)} + \frac{1}{6 u^{6}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{x^{6}}{6} + 3 \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- 2^{x} x + x^{6}\right) + 3}{x} = - 2^{x} + x^{5} + \frac{3}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2^{x}\right)\, dx = - \int 2^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 2^{x}\, dx = \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{x^{6}}{6} + 3 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{x^{6}}{6} + 3 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{x^{6}}{6} + 3 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$