Integral de (3/x)-2*sin(5*x)+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $3 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{5}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $x + 3 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + 3 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + 3 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$