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Resolución de integrales/ (2x-3)/ x*ln(2x-3)

Integral de x*ln(2x-3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |  x*log(2*x - 3) dx
 |                   
/                    
0
∫01xlog⁡(2x−3) dx\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(2 x - 3 \right)}\, dx 
Integral(x*log(2*x - 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(2x−3)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x - 3 \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

    Entonces du⁡(x)=22x−3\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{2 x - 3}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Vuelva a escribir el integrando:

    x22x−3=x2+34+94(2x−3)\frac{x^{2}}{2 x - 3} = \frac{x}{2} + \frac{3}{4} + \frac{9}{4 \left(2 x - 3\right)}

  3. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫34 dx=3x4\int \frac{3}{4}\, dx = \frac{3 x}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫94(2x−3) dx=9∫12x−3 dx4\int \frac{9}{4 \left(2 x - 3\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{1}{2 x - 3}\, dx}{4}

      1. que u=2x−3u = 2 x - 3.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(2x−3)2\frac{\log{\left(2 x - 3 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(2x−3)8\frac{9 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

    El resultado es: x24+3x4+9log⁡(2x−3)8\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

  4. Ahora simplificar:

    x2log⁡(2x−3)2−x24−3x4−9log⁡(2x−3)8\frac{x^{2} \log{\left(2 x - 3 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{4} - \frac{9 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

  5. Añadimos la constante de integración:

    x2log⁡(2x−3)2−x24−3x4−9log⁡(2x−3)8+constant\frac{x^{2} \log{\left(2 x - 3 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{4} - \frac{9 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2log⁡(2x−3)2−x24−3x4−9log⁡(2x−3)8+constant\frac{x^{2} \log{\left(2 x - 3 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{4} - \frac{9 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                 2    2             
 |                         9*log(-3 + 2*x)   3*x   x    x *log(2*x - 3)
 | x*log(2*x - 3) dx = C - --------------- - --- - -- + ---------------
 |                                8           4    4           2       
/
∫xlog⁡(2x−3) dx=C+x2log⁡(2x−3)2−x24−3x4−9log⁡(2x−3)8\int x \log{\left(2 x - 3 \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(2 x - 3 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{4} - \frac{9 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.000000.000020.000040.000060.000080.000100.000120.000140.000160.000180.0002001
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     9*log(3)   pi*I
-1 + -------- + ----
        8        2
−1+9log⁡(3)8+iπ2-1 + \frac{9 \log{\left(3 \right)}}{8} + \frac{i \pi}{2} 
=
= 
     9*log(3)   pi*I
-1 + -------- + ----
        8        2
−1+9log⁡(3)8+iπ2-1 + \frac{9 \log{\left(3 \right)}}{8} + \frac{i \pi}{2} 
-1 + 9*log(3)/8 + pi*i/2
Respuesta numérica [src] 
(0.235938824751623 + 1.5707963267949j)
(0.235938824751623 + 1.5707963267949j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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