Integral de 1/(e^(3x)-e^(x)) dx

1. que $u = e^{x}$.

   Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

   $\int \frac{1}{u^{4} - u^{2}}\, du$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{u^{4} - u^{2}} = - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)} - \frac{1}{u^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

         1. que $u = u + 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$

         1. que $u = u - 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2} + \frac{1}{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2} + e^{- x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2} + e^{- x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2} + e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2} + e^{- x}+ \mathrm{constant}$