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Resolución de integrales/ e^(-x)/ sin(x/2)/ (e^(-x))*(sin(x/2))

Integral de (e^(-x))*(sin(x/2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |   -x    /x\   
 |  E  *sin|-| dx
 |         \2/   
 |               
/                
0
∫01e−xsin⁡(x2) dx\int\limits_{0}^{1} e^{- x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral(E^(-x)*sin(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=−xu = - x.

    Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

    ∫eusin⁡(u2) du\int e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando eusin⁡(u2)e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}:

        que u(u)=sin⁡(u2)u{\left(u \right)} = \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

        Entonces ∫eusin⁡(u2) du=eusin⁡(u2)−∫eucos⁡(u2)2 du\int e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} - \int \frac{e^{u} \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2}\, du.

      2. Para el integrando eucos⁡(u2)2\frac{e^{u} \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2}:

        que u(u)=cos⁡(u2)2u{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

        Entonces ∫eusin⁡(u2) du=eusin⁡(u2)−eucos⁡(u2)2+∫(−eusin⁡(u2)4) du\int e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} - \frac{e^{u} \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2} + \int \left(- \frac{e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}}{4}\right)\, du.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        5∫eusin⁡(u2) du4=eusin⁡(u2)−eucos⁡(u2)2\frac{5 \int e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du}{4} = e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} - \frac{e^{u} \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2}

        Por lo tanto,

        ∫eusin⁡(u2) du=4eusin⁡(u2)5−2eucos⁡(u2)5\int e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du = \frac{4 e^{u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}}{5} - \frac{2 e^{u} \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{5}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −4e−xsin⁡(x2)5−2e−xcos⁡(x2)5- \frac{4 e^{- x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{2 e^{- x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5}

  2. Ahora simplificar:

    −(4sin⁡(x2)+2cos⁡(x2))e−x5- \frac{\left(4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x}}{5}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(4sin⁡(x2)+2cos⁡(x2))e−x5+constant- \frac{\left(4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(4sin⁡(x2)+2cos⁡(x2))e−x5+constant- \frac{\left(4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{- x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                       -x    /x\        /x\  -x
 |                     4*e  *sin|-|   2*cos|-|*e  
 |  -x    /x\                   \2/        \2/    
 | E  *sin|-| dx = C - ------------ - ------------
 |        \2/               5              5      
 |                                                
/
∫e−xsin⁡(x2) dx=C−4e−xsin⁡(x2)5−2e−xcos⁡(x2)5\int e^{- x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C - \frac{4 e^{- x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{2 e^{- x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       -1                        -1
2   4*e  *sin(1/2)   2*cos(1/2)*e  
- - -------------- - --------------
5         5                5
−4sin⁡(12)5e−2cos⁡(12)5e+25- \frac{4 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5 e} - \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5 e} + \frac{2}{5} 
=
= 
       -1                        -1
2   4*e  *sin(1/2)   2*cos(1/2)*e  
- - -------------- - --------------
5         5                5
−4sin⁡(12)5e−2cos⁡(12)5e+25- \frac{4 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5 e} - \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5 e} + \frac{2}{5} 
2/5 - 4*exp(-1)*sin(1/2)/5 - 2*cos(1/2)*exp(-1)/5
Respuesta numérica [src] 
0.129765527639961
0.129765527639961

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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