Integral de (x^4+3)^4*(4x^3*dx) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{4} + 3$.

      Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{4} + 3\right)^{5}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4 x^{3} \left(x^{4} + 3\right)^{4} = 4 x^{19} + 48 x^{15} + 216 x^{11} + 432 x^{7} + 324 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{19}\, dx = 4 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{20}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 48 x^{15}\, dx = 48 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 216 x^{11}\, dx = 216 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $18 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 432 x^{7}\, dx = 432 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $54 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 324 x^{3}\, dx = 324 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $81 x^{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{20}}{5} + 3 x^{16} + 18 x^{12} + 54 x^{8} + 81 x^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{4} + 3\right)^{5}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{4} + 3\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{4} + 3\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$