Integral de e^(-2x)cos(2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

            2. Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

               $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto,

               $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{4} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{- u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{- u} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

                  1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

                     que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

                  2. Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

                     que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$.

                  3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                     $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto,

                     $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{4} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$