Integral de cos(x)/(sin(x)+1/2)^(2/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 \cos{\left(x \right)} dx}{3 \sqrt[3]{\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$:

      $\int \frac{3}{2 \sqrt{u}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{3 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \sqrt{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \sqrt[3]{\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(x \right)}}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(x \right)}}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}\, dx = 2^{\frac{2}{3}} \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}\, dx$

      1. que $u = 2 \sin{\left(x \right)} + 1$.

         Luego que $du = 2 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = 3 \sqrt[3]{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sqrt[3]{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \sqrt[3]{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}{2}+ \mathrm{constant}$