Integral de sin^6(x\2) dx

Solución

Ha introducido [src]

 157          
 ---          
  50          
  /           
 |            
 |     6/x\   
 |  sin |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{\frac{157}{50}} \sin^{6}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Integral(sin(x/2)^6, (x, 0, 157/50))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{6}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{3}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
      
      Método #3
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{8}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx}{8}$
    1. La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{8}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{8}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx}{8}$
    1. La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{8}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
Ahora simplificar:

$\frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{96}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{96}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{96}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                    
 |                              3                      
 |    6/x\          sin(x)   sin (x)   3*sin(2*x)   5*x
 | sin |-| dx = C - ------ + ------- + ---------- + ---
 |     \2/            2         24         32        16
 |                                                     
/

$$\int \sin^{6}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

           /157\    /157\        3/157\    /157\      5/157\    /157\
      5*cos|---|*sin|---|   5*sin |---|*cos|---|   sin |---|*cos|---|
157        \100/    \100/         \100/    \100/       \100/    \100/
--- - ------------------- - -------------------- - ------------------
160            8                     12                    3

$$- \frac{5 \sin{\left(\frac{157}{100} \right)} \cos{\left(\frac{157}{100} \right)}}{8} - \frac{5 \sin^{3}{\left(\frac{157}{100} \right)} \cos{\left(\frac{157}{100} \right)}}{12} - \frac{\sin^{5}{\left(\frac{157}{100} \right)} \cos{\left(\frac{157}{100} \right)}}{3} + \frac{157}{160}$$

           /157\    /157\        3/157\    /157\      5/157\    /157\
      5*cos|---|*sin|---|   5*sin |---|*cos|---|   sin |---|*cos|---|
157        \100/    \100/         \100/    \100/       \100/    \100/
--- - ------------------- - -------------------- - ------------------
160            8                     12                    3

157/160 - 5*cos(157/100)*sin(157/100)/8 - 5*sin(157/100)^3*cos(157/100)/12 - sin(157/100)^5*cos(157/100)/3

Respuesta numérica [src]

0.980155051666976

0.980155051666976

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin^6(x\2) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #3

Método #2