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Resolución de integrales/ cos2x/ cos^3/ xsinx/ cos2x-6cos^3xsinx

Integral de cos2x-6cos^3xsinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |  /                3          \   
 |  \cos(2*x) - 6*cos (x)*sin(x)/ dx
 |                                  
/                                   
0
∫01(−sin⁡(x)6cos⁡3(x)+cos⁡(2x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- \sin{\left(x \right)} 6 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(cos(2*x) - 6*cos(x)^3*sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)6cos⁡3(x)) dx=−∫6sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} 6 \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int 6 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=6∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int 6 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡(x)cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

          2. que u=sin⁡2(x)u = \sin^{2}{\left(x \right)}.

            Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫(12−u2) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u du2\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u24- \frac{u^{2}}{4}

              El resultado es: −u24+u2- \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡4(x)4+sin⁡2(x)2- \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡4(x)2- \frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡4(x)2\frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{2}

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

    El resultado es: sin⁡(2x)2+3cos⁡4(x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(2x)2+3cos⁡4(x)2+constant\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(2x)2+3cos⁡4(x)2+constant\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                                        4   
 | /                3          \          sin(2*x)   3*cos (x)
 | \cos(2*x) - 6*cos (x)*sin(x)/ dx = C + -------- + ---------
 |                                           2           2    
/
∫(−sin⁡(x)6cos⁡3(x)+cos⁡(2x)) dx=C+sin⁡(2x)2+3cos⁡4(x)2\int \left(- \sin{\left(x \right)} 6 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                    4   
  3   sin(2)   3*cos (1)
- - + ------ + ---------
  2     2          2
−32+3cos⁡4(1)2+sin⁡(2)2- \frac{3}{2} + \frac{3 \cos^{4}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} 
=
= 
                    4   
  3   sin(2)   3*cos (1)
- - + ------ + ---------
  2     2          2
−32+3cos⁡4(1)2+sin⁡(2)2- \frac{3}{2} + \frac{3 \cos^{4}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} 
-3/2 + sin(2)/2 + 3*cos(1)^4/2
Respuesta numérica [src] 
-0.917519592909443
-0.917519592909443

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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