Sr Examen
Integral de (2x+2):(x^2-x+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 2*x + 2 | ---------- dx | 2 | x - x + 1 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x + 2}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx$$
Integral((2*x + 2)/(x^2 - x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 2*x + 2 | ---------- dx | 2 | x - x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 3 \
|---|
2*x + 2 2*x - 1 \3/4/
---------- = ---------- + -------------------------
2 2 2
x - x + 1 x - x + 1 / ___ ___\
|-2*\/ 3 \/ 3 |
|--------*x + -----| + 1
\ 3 3 / o
/ | | 2*x + 2 | ---------- dx | 2 = | x - x + 1 | /
/ / | | | 1 | 2*x - 1 4* | ------------------------- dx + | ---------- dx | 2 | 2 | / ___ ___\ | x - x + 1 | |-2*\/ 3 \/ 3 | | | |--------*x + -----| + 1 / | \ 3 3 / | /
En integral
/ | | 2*x - 1 | ---------- dx | 2 | x - x + 1 | /
hacemos el cambio
2 u = x - x
entonces
integral =
/ | | 1 | ----- du = log(1 + u) | 1 + u | /
hacemos cambio inverso
/ | | 2*x - 1 / 2 \ | ---------- dx = log\1 + x - x/ | 2 | x - x + 1 | /
En integral
/ | | 1 4* | ------------------------- dx | 2 | / ___ ___\ | |-2*\/ 3 \/ 3 | | |--------*x + -----| + 1 | \ 3 3 / | /
hacemos el cambio
___ ___
\/ 3 2*x*\/ 3
v = ----- - ---------
3 3 entonces
integral =
/ | | 1 4* | ------ dv = 4*atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | / ___ ___\ | 1 ___ | \/ 3 2*x*\/ 3 | 4* | ------------------------- dx = 2*\/ 3 *atan|- ----- + ---------| | 2 \ 3 3 / | / ___ ___\ | |-2*\/ 3 \/ 3 | | |--------*x + -----| + 1 | \ 3 3 / | /
La solución:
/ ___ ___\
___ | \/ 3 2*x*\/ 3 | / 2 \
C + 2*\/ 3 *atan|- ----- + ---------| + log\1 + x - x/
\ 3 3 /
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / ___ \ | 2*x + 2 ___ |2*\/ 3 *(-1/2 + x)| / 2 \ | ---------- dx = C + 2*\/ 3 *atan|------------------| + log\1 + x - x/ | 2 \ 3 / | x - x + 1 | /
$$\int \frac{2 x + 2}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx = C + \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)} + 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___
2*pi*\/ 3
----------
3
$$\frac{2 \sqrt{3} \pi}{3}$$
=
=
___
2*pi*\/ 3
----------
3
$$\frac{2 \sqrt{3} \pi}{3}$$
2*pi*sqrt(3)/3
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.