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Resolución de integrales/ exp(-2x)/ exp(-2x)*sinx

Integral de exp(-2x)*sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                
  /                
 |                 
 |   -2*x          
 |  e    *sin(x) dx
 |                 
/                  
-oo
∫−∞∞e−2xsin⁡(x) dx\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral(exp(-2*x)*sin(x), (x, -oo, oo))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

    1. Para el integrando e−2xsin⁡(x)e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}:

      que u(x)=sin⁡(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

      Entonces ∫e−2xsin⁡(x) dx=−∫(−e−2xcos⁡(x)2) dx−e−2xsin⁡(x)2\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2}.

    2. Para el integrando −e−2xcos⁡(x)2- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}:

      que u(x)=−cos⁡(x)2u{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

      Entonces ∫e−2xsin⁡(x) dx=∫(−e−2xsin⁡(x)4) dx−e−2xsin⁡(x)2−e−2xcos⁡(x)4\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}.

    3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

      5∫e−2xsin⁡(x) dx4=−e−2xsin⁡(x)2−e−2xcos⁡(x)4\frac{5 \int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}

      Por lo tanto,

      ∫e−2xsin⁡(x) dx=−2e−2xsin⁡(x)5−e−2xcos⁡(x)5\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}

  2. Ahora simplificar:

    −(2sin⁡(x)+cos⁡(x))e−2x5- \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{5}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(2sin⁡(x)+cos⁡(x))e−2x5+constant- \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(2sin⁡(x)+cos⁡(x))e−2x5+constant- \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                          -2*x                  -2*x
 |  -2*x                 2*e    *sin(x)   cos(x)*e    
 | e    *sin(x) dx = C - -------------- - ------------
 |                             5               5      
/
∫e−2xsin⁡(x) dx=C−2e−2xsin⁡(x)5−e−2xcos⁡(x)5\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}
Simplificar
Respuesta [src] 
<-oo, oo>
⟨−∞,∞⟩\left\langle -\infty, \infty\right\rangle 
=
= 
<-oo, oo>
⟨−∞,∞⟩\left\langle -\infty, \infty\right\rangle 
AccumBounds(-oo, oo)
Respuesta numérica [src] 
-7.75242148173166e+8666718896312663485
-7.75242148173166e+8666718896312663485

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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