Integral de (x*cos(5x)+sqrt(1-x)-1/sqrt(16-x^2)) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}\, dx = \frac{\int \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{5}$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}$

      1. que $u = 1 - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=4*sin(_theta), rewritten=1, substep=ConstantRule(constant=1, context=1, symbol=_theta), restriction=(x > -4) & (x < 4), context=1/(sqrt(16 - x**2)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

   El resultado es: $\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \begin{cases} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}$