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Resolución de integrales/ x^3+2/ x^3+5/ x^2+4/ (5x^3+2)/(x^3+5x^2+4x)

Integral de (5x^3+2)/(x^3+5x^2+4x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |         3          
 |      5*x  + 2      
 |  --------------- dx
 |   3      2         
 |  x  + 5*x  + 4*x   
 |                    
/                     
0
∫015x3+24x+(x3+5x2) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{5 x^{3} + 2}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)}\, dx 
Integral((5*x^3 + 2)/(x^3 + 5*x^2 + 4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      5x3+24x+(x3+5x2)=5−532(x+4)+1x+1+12x\frac{5 x^{3} + 2}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)} = 5 - \frac{53}{2 \left(x + 4\right)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫5 dx=5x\int 5\, dx = 5 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−532(x+4)) dx=−53∫1x+4 dx2\int \left(- \frac{53}{2 \left(x + 4\right)}\right)\, dx = - \frac{53 \int \frac{1}{x + 4}\, dx}{2}

        1. que u=x+4u = x + 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+4)\log{\left(x + 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −53log⁡(x+4)2- \frac{53 \log{\left(x + 4 \right)}}{2}

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12x dx=∫1x dx2\int \frac{1}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)2\frac{\log{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: 5x+log⁡(x)2+log⁡(x+1)−53log⁡(x+4)25 x + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{53 \log{\left(x + 4 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      5x3+24x+(x3+5x2)=5x34x+(x3+5x2)+24x+(x3+5x2)\frac{5 x^{3} + 2}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)} = \frac{5 x^{3}}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)} + \frac{2}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5x34x+(x3+5x2) dx=5∫x34x+(x3+5x2) dx\int \frac{5 x^{3}}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)}\, dx = 5 \int \frac{x^{3}}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x34x+(x3+5x2)=1−163(x+4)+13(x+1)\frac{x^{3}}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)} = 1 - \frac{16}{3 \left(x + 4\right)} + \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−163(x+4)) dx=−16∫1x+4 dx3\int \left(- \frac{16}{3 \left(x + 4\right)}\right)\, dx = - \frac{16 \int \frac{1}{x + 4}\, dx}{3}

            1. que u=x+4u = x + 4.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+4)\log{\left(x + 4 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −16log⁡(x+4)3- \frac{16 \log{\left(x + 4 \right)}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫13(x+1) dx=∫1x+1 dx3\int \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{3}

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+1)3\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}

          El resultado es: x+log⁡(x+1)3−16log⁡(x+4)3x + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{16 \log{\left(x + 4 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x+5log⁡(x+1)3−80log⁡(x+4)35 x + \frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{80 \log{\left(x + 4 \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫24x+(x3+5x2) dx=2∫14x+(x3+5x2) dx\int \frac{2}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)}\, dx = 2 \int \frac{1}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          14x+(x3+5x2)=112(x+4)−13(x+1)+14x\frac{1}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)} = \frac{1}{12 \left(x + 4\right)} - \frac{1}{3 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 x}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫112(x+4) dx=∫1x+4 dx12\int \frac{1}{12 \left(x + 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 4}\, dx}{12}

            1. que u=x+4u = x + 4.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+4)\log{\left(x + 4 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+4)12\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{12}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−13(x+1)) dx=−∫1x+1 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{3}

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)3- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫14x dx=∫1x dx4\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{4}

            1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)4\frac{\log{\left(x \right)}}{4}

          El resultado es: log⁡(x)4−log⁡(x+1)3+log⁡(x+4)12\frac{\log{\left(x \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{12}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)2−2log⁡(x+1)3+log⁡(x+4)6\frac{\log{\left(x \right)}}{2} - \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{6}

      El resultado es: 5x+log⁡(x)2+log⁡(x+1)−53log⁡(x+4)25 x + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{53 \log{\left(x + 4 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    5x+log⁡(x)2+log⁡(x+1)−53log⁡(x+4)2+constant5 x + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{53 \log{\left(x + 4 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5x+log⁡(x)2+log⁡(x+1)−53log⁡(x+4)2+constant5 x + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{53 \log{\left(x + 4 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                                   
 |        3                                                          
 |     5*x  + 2             log(x)         53*log(4 + x)             
 | --------------- dx = C + ------ + 5*x - ------------- + log(1 + x)
 |  3      2                  2                  2                   
 | x  + 5*x  + 4*x                                                   
 |                                                                   
/
∫5x3+24x+(x3+5x2) dx=C+5x+log⁡(x)2+log⁡(x+1)−53log⁡(x+4)2\int \frac{5 x^{3} + 2}{4 x + \left(x^{3} + 5 x^{2}\right)}\, dx = C + 5 x + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{53 \log{\left(x + 4 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-50005000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
21.8250661377298
21.8250661377298

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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