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Resolución de integrales/ cos(x)/ (x)^4/ tan(x)/ cos(x)^4tan(x)^5

Integral de cos(x)^4tan(x)^5 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     4       5      
 |  cos (x)*tan (x) dx
 |                    
/                     
0
∫01cos⁡4(x)tan⁡5(x) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{4}{\left(x \right)} \tan^{5}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cos(x)^4*tan(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan⁡5(x)sec⁡4(x)=(sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)sec⁡4(x)\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{\sec^{4}{\left(x \right)}} = \frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)}}{\sec^{4}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sec⁡2(x)u = \sec^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=2tan⁡(x)sec⁡2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u2−2u+12u3 du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{3}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2−2u+1u3 du=∫u2−2u+1u3 du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{3}}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−2u+1u3=1u−2u2+1u3\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{3}} = \frac{1}{u} - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          El resultado es: log⁡(u)+2u−12u2\log{\left(u \right)} + \frac{2}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2+1u−14u2\frac{\log{\left(u \right)}}{2} + \frac{1}{u} - \frac{1}{4 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(sec⁡2(x))2+1sec⁡2(x)−14sec⁡4(x)\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{4 \sec^{4}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)sec⁡4(x)=tan⁡(x)sec⁡4(x)−2tan⁡(x)sec⁡2(x)+tan⁡(x)sec⁡4(x)\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)}}{\sec^{4}{\left(x \right)}} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sec^{4}{\left(x \right)}}

    2. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

      Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫u4−2u2+1u5 du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{5}}\, du

      1. que u=u2u = u^{2}.

        Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫u2−2u+12u3 du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{3}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2−2u+1u3 du=∫u2−2u+1u3 du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{3}}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2−2u+1u3=1u−2u2+1u3\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{3}} = \frac{1}{u} - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            El resultado es: log⁡(u)+2u−12u2\log{\left(u \right)} + \frac{2}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2+1u−14u2\frac{\log{\left(u \right)}}{2} + \frac{1}{u} - \frac{1}{4 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(u2)2+1u2−14u4\frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{4 u^{4}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(sec⁡2(x))2+1sec⁡2(x)−14sec⁡4(x)\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{4 \sec^{4}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)sec⁡4(x)=tan⁡(x)−2tan⁡(x)sec⁡2(x)+tan⁡(x)sec⁡4(x)\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)}}{\sec^{4}{\left(x \right)}} = \tan{\left(x \right)} - \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sec^{4}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2tan⁡(x)sec⁡2(x)) dx=−2∫tan⁡(x)sec⁡2(x) dx\int \left(- \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12sec⁡2(x)- \frac{1}{2 \sec^{2}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 1sec⁡2(x)\frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}}

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u5 du\int \frac{1}{u^{5}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u5 du=−14u4\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −14sec⁡4(x)- \frac{1}{4 \sec^{4}{\left(x \right)}}

      El resultado es: −log⁡(cos⁡(x))+1sec⁡2(x)−14sec⁡4(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{4 \sec^{4}{\left(x \right)}}

  3. Ahora simplificar:

    log⁡(sec⁡2(x))2−cos⁡4(x)4+cos⁡2(x)\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(sec⁡2(x))2−cos⁡4(x)4+cos⁡2(x)+constant\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(sec⁡2(x))2−cos⁡4(x)4+cos⁡2(x)+constant\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                       /   2   \            
 |    4       5                1      log\sec (x)/       1    
 | cos (x)*tan (x) dx = C + ------- + ------------ - ---------
 |                             2           2              4   
/                           sec (x)                  4*sec (x)
∫cos⁡4(x)tan⁡5(x) dx=C+log⁡(sec⁡2(x))2+1sec⁡2(x)−14sec⁡4(x)\int \cos^{4}{\left(x \right)} \tan^{5}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{1}{\sec^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{4 \sec^{4}{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                 4   
  3      2                    cos (1)
- - + cos (1) - log(cos(1)) - -------
  4                              4
−34−cos⁡4(1)4+cos⁡2(1)−log⁡(cos⁡(1))- \frac{3}{4} - \frac{\cos^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
=
= 
                                 4   
  3      2                    cos (1)
- - + cos (1) - log(cos(1)) - -------
  4                              4
−34−cos⁡4(1)4+cos⁡2(1)−log⁡(cos⁡(1))- \frac{3}{4} - \frac{\cos^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
-3/4 + cos(1)^2 - log(cos(1)) - cos(1)^4/4
Respuesta numérica [src] 
0.136247769832824
0.136247769832824

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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