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Resolución de integrales/ cos(x/5)/ xcos(x/5)

Integral de xcos(x/5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |       /x\   
 |  x*cos|-| dx
 |       \5/   
 |             
/              
0
∫01xcos⁡(x5) dx\int\limits_{0}^{1} x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx 
Integral(x*cos(x/5), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

      Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

      ∫5cos⁡(u) du\int 5 \cos{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 5 \int \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)5 \sin{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      5sin⁡(x5)5 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫5sin⁡(x5) dx=5∫sin⁡(x5) dx\int 5 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx

    1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

      Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

      ∫5sin⁡(u) du\int 5 \sin{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 5 \int \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)- 5 \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −5cos⁡(x5)- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −25cos⁡(x5)- 25 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    5xsin⁡(x5)+25cos⁡(x5)+constant5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5xsin⁡(x5)+25cos⁡(x5)+constant5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        
 |                                         
 |      /x\                /x\          /x\
 | x*cos|-| dx = C + 25*cos|-| + 5*x*sin|-|
 |      \5/                \5/          \5/
 |                                         
/
∫xcos⁡(x5) dx=C+5xsin⁡(x5)+25cos⁡(x5)\int x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx = C + 5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-25 + 5*sin(1/5) + 25*cos(1/5)
−25+5sin⁡(15)+25cos⁡(15)-25 + 5 \sin{\left(\frac{1}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{1}{5} \right)} 
=
= 
-25 + 5*sin(1/5) + 25*cos(1/5)
−25+5sin⁡(15)+25cos⁡(15)-25 + 5 \sin{\left(\frac{1}{5} \right)} + 25 \cos{\left(\frac{1}{5} \right)} 
-25 + 5*sin(1/5) + 25*cos(1/5)
Respuesta numérica [src] 
0.495011100006347
0.495011100006347

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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