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Resolución de integrales/ 2*sinx/ (2+sgrt(2))*x^2*sinx

Integral de (2+sgrt(2))*x^2*sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                         
 --                         
 4                          
  /                         
 |                          
 |  /      ___\  2          
 |  \2 + \/ 2 /*x *sin(x) dx
 |                          
/                           
0
∫0π4x2(2+2)sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^{2} \left(\sqrt{2} + 2\right) \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral(((2 + sqrt(2))*x^2)*sin(x), (x, 0, pi/4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(2+2)sin⁡(x)=2x2sin⁡(x)+2x2sin⁡(x)x^{2} \left(\sqrt{2} + 2\right) \sin{\left(x \right)} = \sqrt{2} x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x^{2} \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2sin⁡(x) dx=2∫x2sin⁡(x) dx\int \sqrt{2} x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = \sqrt{2} \int x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x))\sqrt{2} \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2sin⁡(x) dx=2∫x2sin⁡(x) dx\int 2 x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x2cos⁡(x)+4xsin⁡(x)+4cos⁡(x)- 2 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 4 x \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −2x2cos⁡(x)+4xsin⁡(x)+2(−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x))+4cos⁡(x)- 2 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 4 x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 4 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2(2+2)u{\left(x \right)} = x^{2} \left(\sqrt{2} + 2\right) y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2x(2+2)\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x \left(\sqrt{2} + 2\right).

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−2x(2+2)u{\left(x \right)} = - 2 x \left(\sqrt{2} + 2\right) y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−4−22\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4 - 2 \sqrt{2}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4−22)sin⁡(x) dx=(−4−22)∫sin⁡(x) dx\int \left(-4 - 2 \sqrt{2}\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = \left(-4 - 2 \sqrt{2}\right) \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −(−4−22)cos⁡(x)- \left(-4 - 2 \sqrt{2}\right) \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2x2cos⁡(x)+4xsin⁡(x)+2(−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x))+4cos⁡(x)+constant- 2 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 4 x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 4 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2x2cos⁡(x)+4xsin⁡(x)+2(−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x))+4cos⁡(x)+constant- 2 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 4 x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 4 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                              
 |                                                                                                               
 | /      ___\  2                              ___ /            2                    \      2                    
 | \2 + \/ 2 /*x *sin(x) dx = C + 4*cos(x) + \/ 2 *\2*cos(x) - x *cos(x) + 2*x*sin(x)/ - 2*x *cos(x) + 4*x*sin(x)
 |                                                                                                               
/
∫x2(2+2)sin⁡(x) dx=C−2x2cos⁡(x)+4xsin⁡(x)+2(−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x))+4cos⁡(x)\int x^{2} \left(\sqrt{2} + 2\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = C - 2 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 4 x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 4 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.75010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                           /          ___   2        ___\
         ___   /      ___\ |  ___   \/ 2 *pi    pi*\/ 2 |
-4 - 2*\/ 2  + \2 + \/ 2 /*|\/ 2  - --------- + --------|
                           \            32         4    /
−4−22+(2+2)(−2π232+2π4+2)-4 - 2 \sqrt{2} + \left(\sqrt{2} + 2\right) \left(- \frac{\sqrt{2} \pi^{2}}{32} + \frac{\sqrt{2} \pi}{4} + \sqrt{2}\right) 
=
= 
                           /          ___   2        ___\
         ___   /      ___\ |  ___   \/ 2 *pi    pi*\/ 2 |
-4 - 2*\/ 2  + \2 + \/ 2 /*|\/ 2  - --------- + --------|
                           \            32         4    /
−4−22+(2+2)(−2π232+2π4+2)-4 - 2 \sqrt{2} + \left(\sqrt{2} + 2\right) \left(- \frac{\sqrt{2} \pi^{2}}{32} + \frac{\sqrt{2} \pi}{4} + \sqrt{2}\right) 
-4 - 2*sqrt(2) + (2 + sqrt(2))*(sqrt(2) - sqrt(2)*pi^2/32 + pi*sqrt(2)/4)
Respuesta numérica [src] 
0.303029495851135
0.303029495851135

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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