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Resolución de integrales/ cos^2/ sin^3/ sin^3(x)/cos^2(x)

Integral de sin^3(x)/cos^2(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0
∫01sin⁡3(x)cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(sin(x)^3/cos(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡3(x)cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫u2−1u2 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u2−1u2=1−1u2\frac{u^{2} - 1}{u^{2}} = 1 - \frac{1}{u^{2}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

        El resultado es: u+1uu + \frac{1}{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      cos⁡(x)+1cos⁡(x)\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡2(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2−1u2) du\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2−1u2 du=−∫u2−1u2 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2−1u2=1−1u2\frac{u^{2} - 1}{u^{2}} = 1 - \frac{1}{u^{2}}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

            El resultado es: u+1uu + \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −u−1u- u - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(x)−1cos⁡(x)- \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)+1cos⁡(x)\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)=−sin⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = - \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u2) du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u2 du=−∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        1cos⁡(x)\frac{1}{\cos{\left(x \right)}}

      El resultado es: cos⁡(x)+1cos⁡(x)\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    cos⁡(x)+1cos⁡(x)+constant\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

cos⁡(x)+1cos⁡(x)+constant\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                
 |                                 
 |    3                            
 | sin (x)            1            
 | ------- dx = C + ------ + cos(x)
 |    2             cos(x)         
 | cos (x)                         
 |                                 
/
∫sin⁡3(x)cos⁡2(x) dx=C+cos⁡(x)+1cos⁡(x)\int \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C + \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       1            
-2 + ------ + cos(1)
     cos(1)
−2+cos⁡(1)+1cos⁡(1)-2 + \cos{\left(1 \right)} + \frac{1}{\cos{\left(1 \right)}} 
=
= 
       1            
-2 + ------ + cos(1)
     cos(1)
−2+cos⁡(1)+1cos⁡(1)-2 + \cos{\left(1 \right)} + \frac{1}{\cos{\left(1 \right)}} 
-2 + 1/cos(1) + cos(1)
Respuesta numérica [src] 
0.391118023549065
0.391118023549065

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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