Sr Examen
Integral de (4*x-1)/(x^2-2*x+5) dx
Solución
Ha introducido
[src]
3 / | | 4*x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | / 0
$$\int\limits_{0}^{3} \frac{4 x - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((4*x - 1)/(x^2 - 2*x + 5), (x, 0, 3))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 4*x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | /
Reescribimos la función subintegral
/3\
|-|
4*x - 1 2*x - 2 \4/
------------ = 2*------------ + --------------
2 2 2
x - 2*x + 5 x - 2*x + 5 / x 1\
|- - + -| + 1
\ 2 2/ o
/ | | 4*x - 1 | ------------ dx | 2 = | x - 2*x + 5 | /
/
|
| 1
3* | -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
/ | \ 2 2/
| |
| 2*x - 2 /
2* | ------------ dx + ----------------------
| 2 4
| x - 2*x + 5
|
/ En integral
/ | | 2*x - 2 2* | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | /
hacemos el cambio
2 u = x - 2*x
entonces
integral =
/ | | 1 2* | ----- du = 2*log(5 + u) | 5 + u | /
hacemos cambio inverso
/ | | 2*x - 2 / 2 \ 2* | ------------ dx = 2*log\5 + x - 2*x/ | 2 | x - 2*x + 5 | /
En integral
/
|
| 1
3* | -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/
|
/
----------------------
4 hacemos el cambio
1 x
v = - - -
2 2entonces
integral =
/
|
| 1
3* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ 3*atan(v)
-------------- = ---------
4 4 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
3* | -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/ / 1 x\
| 3*atan|- - + -|
/ \ 2 2/
---------------------- = ---------------
4 2 La solución:
/ 1 x\
3*atan|- - + -|
/ 2 \ \ 2 2/
C + 2*log\5 + x - 2*x/ + ---------------
2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ / 1 x\ | 3*atan|- - + -| | 4*x - 1 / 2 \ \ 2 2/ | ------------ dx = C + 2*log\5 + x - 2*x/ + --------------- | 2 2 | x - 2*x + 5 | /
$$\int \frac{4 x - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx = C + 2 \log{\left(x^{2} - 2 x + 5 \right)} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
3*atan(1/2) 3*pi
-2*log(5) + 2*log(8) + ----------- + ----
2 8
$$- 2 \log{\left(5 \right)} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{8} + 2 \log{\left(8 \right)}$$
=
=
3*atan(1/2) 3*pi
-2*log(5) + 2*log(8) + ----------- + ----
2 8
$$- 2 \log{\left(5 \right)} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{8} + 2 \log{\left(8 \right)}$$
-2*log(5) + 2*log(8) + 3*atan(1/2)/2 + 3*pi/8
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.