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Resolución de integrales/ x^2-x/ (x-2)/ (x-3)/ (x+1)/ x^2-x+4/(x+1)(x-2)(x-3)

Integral de x^2-x+4/(x+1)(x-2)(x-3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |  / 2         4                  \   
 |  |x  - x + -----*(x - 2)*(x - 3)| dx
 |  \         x + 1                /   
 |                                     
/                                      
0
∫01((x−2)4x+1(x−3)+(x2−x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} \left(x - 3\right) + \left(x^{2} - x\right)\right)\, dx 
Integral(x^2 - x + ((4/(x + 1))*(x - 2))*(x - 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x−2)4x+1(x−3)=4x−24+48x+1\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} \left(x - 3\right) = 4 x - 24 + \frac{48}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4x dx=4∫x dx\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x22 x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−24) dx=−24x\int \left(-24\right)\, dx = - 24 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫48x+1 dx=48∫1x+1 dx\int \frac{48}{x + 1}\, dx = 48 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 48log⁡(x+1)48 \log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: 2x2−24x+48log⁡(x+1)2 x^{2} - 24 x + 48 \log{\left(x + 1 \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x−2)4x+1(x−3)=4x2−20x+24x+1\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} \left(x - 3\right) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 24}{x + 1}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        4x2−20x+24x+1=4x−24+48x+1\frac{4 x^{2} - 20 x + 24}{x + 1} = 4 x - 24 + \frac{48}{x + 1}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4x dx=4∫x dx\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x22 x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−24) dx=−24x\int \left(-24\right)\, dx = - 24 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫48x+1 dx=48∫1x+1 dx\int \frac{48}{x + 1}\, dx = 48 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 48log⁡(x+1)48 \log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: 2x2−24x+48log⁡(x+1)2 x^{2} - 24 x + 48 \log{\left(x + 1 \right)}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x−2)4x+1(x−3)=4x2x+1−20xx+1+24x+1\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} \left(x - 3\right) = \frac{4 x^{2}}{x + 1} - \frac{20 x}{x + 1} + \frac{24}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4x2x+1 dx=4∫x2x+1 dx\int \frac{4 x^{2}}{x + 1}\, dx = 4 \int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x2x+1=x−1+1x+1\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            El resultado es: x22−x+log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x2−4x+4log⁡(x+1)2 x^{2} - 4 x + 4 \log{\left(x + 1 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−20xx+1) dx=−20∫xx+1 dx\int \left(- \frac{20 x}{x + 1}\right)\, dx = - 20 \int \frac{x}{x + 1}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            xx+1=1−1x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

              1. que u=x+1u = x + 1.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

            El resultado es: x−log⁡(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −20x+20log⁡(x+1)- 20 x + 20 \log{\left(x + 1 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫24x+1 dx=24∫1x+1 dx\int \frac{24}{x + 1}\, dx = 24 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 24log⁡(x+1)24 \log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: 2x2−24x+24log⁡(x+1)+24log⁡(x+1)2 x^{2} - 24 x + 24 \log{\left(x + 1 \right)} + 24 \log{\left(x + 1 \right)}

    1. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      El resultado es: x33−x22\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}

    El resultado es: x33+3x22−24x+48log⁡(x+1)\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 24 x + 48 \log{\left(x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x33+3x22−24x+48log⁡(x+1)+constant\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 24 x + 48 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x33+3x22−24x+48log⁡(x+1)+constant\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 24 x + 48 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                          
 |                                                                   3      2
 | / 2         4                  \                                 x    3*x 
 | |x  - x + -----*(x - 2)*(x - 3)| dx = C - 24*x + 48*log(1 + x) + -- + ----
 | \         x + 1                /                                 3     2  
 |                                                                           
/
∫((x−2)4x+1(x−3)+(x2−x)) dx=C+x33+3x22−24x+48log⁡(x+1)\int \left(\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} \left(x - 3\right) + \left(x^{2} - x\right)\right)\, dx = C + \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 24 x + 48 \log{\left(x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90025
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-133/6 + 48*log(2)
−1336+48log⁡(2)- \frac{133}{6} + 48 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-133/6 + 48*log(2)
−1336+48log⁡(2)- \frac{133}{6} + 48 \log{\left(2 \right)} 
-133/6 + 48*log(2)
Respuesta numérica [src] 
11.1043980002107
11.1043980002107

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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