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Resolución de integrales/ x-0.5/ cos(5*x)/ (x-0.5)*(x+0.5)*cos(5*x)

Integral de (x-0.5)*(x+0.5)*cos(5*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1/2                               
   /                                
  |                                 
  |  (x - 1/2)*(x + 1/2)*cos(5*x) dx
  |                                 
 /                                  
-1/2
∫−1212(x−12)(x+12)cos⁡(5x) dx\int\limits_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{1}{2}\right) \cos{\left(5 x \right)}\, dx 
Integral(((x - 1/2)*(x + 1/2))*cos(5*x), (x, -1/2, 1/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−12)(x+12)cos⁡(5x)=x2cos⁡(5x)−cos⁡(5x)4\left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{1}{2}\right) \cos{\left(5 x \right)} = x^{2} \cos{\left(5 x \right)} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=2x5u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{5} y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=25\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{5}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(5x)25) dx=−2∫cos⁡(5x) dx25\int \left(- \frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{25}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{25}

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(5x)125- \frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{125}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(5x)4) dx=−∫cos⁡(5x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{4}

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x)20- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{20}

      El resultado es: x2sin⁡(5x)5+2xcos⁡(5x)25−33sin⁡(5x)500\frac{x^{2} \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \cos{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{33 \sin{\left(5 x \right)}}{500}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2−14u{\left(x \right)} = x^{2} - \frac{1}{4} y que dv⁡(x)=cos⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x5u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{5} y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=25\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{5}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2cos⁡(5x)25) dx=−2∫cos⁡(5x) dx25\int \left(- \frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{25}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{25}

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(5x)125- \frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{125}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−12)(x+12)cos⁡(5x)=x2cos⁡(5x)−cos⁡(5x)4\left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{1}{2}\right) \cos{\left(5 x \right)} = x^{2} \cos{\left(5 x \right)} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=2x5u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{5} y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=25\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{5}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(5x)25) dx=−2∫cos⁡(5x) dx25\int \left(- \frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{25}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{25}

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(5x)125- \frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{125}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(5x)4) dx=−∫cos⁡(5x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{4}

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x)20- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{20}

      El resultado es: x2sin⁡(5x)5+2xcos⁡(5x)25−33sin⁡(5x)500\frac{x^{2} \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \cos{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{33 \sin{\left(5 x \right)}}{500}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2sin⁡(5x)5+2xcos⁡(5x)25−33sin⁡(5x)500+constant\frac{x^{2} \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \cos{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{33 \sin{\left(5 x \right)}}{500}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2sin⁡(5x)5+2xcos⁡(5x)25−33sin⁡(5x)500+constant\frac{x^{2} \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \cos{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{33 \sin{\left(5 x \right)}}{500}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                     2                        
 |                                       33*sin(5*x)   x *sin(5*x)   2*x*cos(5*x)
 | (x - 1/2)*(x + 1/2)*cos(5*x) dx = C - ----------- + ----------- + ------------
 |                                           500            5             25     
/
∫(x−12)(x+12)cos⁡(5x) dx=C+x2sin⁡(5x)5+2xcos⁡(5x)25−33sin⁡(5x)500\int \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{1}{2}\right) \cos{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \cos{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{33 \sin{\left(5 x \right)}}{500}
Simplificar
Gráfica
-0.50-0.40-0.30-0.20-0.100.500.000.100.200.300.400.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  4*sin(5/2)   2*cos(5/2)
- ---------- + ----------
     125           25
2cos⁡(52)25−4sin⁡(52)125\frac{2 \cos{\left(\frac{5}{2} \right)}}{25} - \frac{4 \sin{\left(\frac{5}{2} \right)}}{125} 
=
= 
  4*sin(5/2)   2*cos(5/2)
- ---------- + ----------
     125           25
2cos⁡(52)25−4sin⁡(52)125\frac{2 \cos{\left(\frac{5}{2} \right)}}{25} - \frac{4 \sin{\left(\frac{5}{2} \right)}}{125} 
-4*sin(5/2)/125 + 2*cos(5/2)/25
Respuesta numérica [src] 
-0.0832425978550813
-0.0832425978550813

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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