Integral de -e^(-y)*y*(y+2) dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $- e^{- y} y \left(y + 2\right) = - \left(y^{2} + 2 y\right) e^{- y}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(y^{2} + 2 y\right) e^{- y}\right)\, dy = - \int \left(y^{2} + 2 y\right) e^{- y}\, dy$

      1. que $u = - y$.

         Luego que $du = - dy$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 u e^{u} - 2 e^{u}$

            El resultado es: $- u^{2} e^{u} + 4 u e^{u} - 4 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- y^{2} e^{- y} - 4 y e^{- y} - 4 e^{- y}$

      Por lo tanto, el resultado es: $y^{2} e^{- y} + 4 y e^{- y} + 4 e^{- y}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $- e^{- y} y \left(y + 2\right) = - y^{2} e^{- y} - 2 y e^{- y}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- y^{2} e^{- y}\right)\, dy = - \int y^{2} e^{- y}\, dy$

         1. que $u = - y$.

            Luego que $du = - dy$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- y^{2} e^{- y} - 2 y e^{- y} - 2 e^{- y}$

         Por lo tanto, el resultado es: $y^{2} e^{- y} + 2 y e^{- y} + 2 e^{- y}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 y e^{- y}\right)\, dy = - 2 \int y e^{- y}\, dy$

         1. que $u = - y$.

            Luego que $du = - dy$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- y e^{- y} - e^{- y}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 y e^{- y} + 2 e^{- y}$

      El resultado es: $y^{2} e^{- y} + 4 y e^{- y} + 4 e^{- y}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(y^{2} + 4 y + 4\right) e^{- y}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(y^{2} + 4 y + 4\right) e^{- y}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(y^{2} + 4 y + 4\right) e^{- y}+ \mathrm{constant}$