Integral de tg(2x-(pi/4)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}$.

      Luego que $du = - 2 \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}} = - \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}$.

         Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}} = - \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}$.

         Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\log{\left(\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$