Integral de -(pi)²sin²x dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int - \pi^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \pi^{2} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \pi^{2} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi^{2} \left(- 2 x + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi^{2} \left(- 2 x + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi^{2} \left(- 2 x + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$