Integral de pi*a^3*(1+cos(x))^3 dx
Solución
Solución detallada
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫πa3(cos(x)+1)3dx=πa3∫(cos(x)+1)3dx
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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Vuelva a escribir el integrando:
(cos(x)+1)3=cos3(x)+3cos2(x)+3cos(x)+1
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Integramos término a término:
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Vuelva a escribir el integrando:
cos3(x)=(1−sin2(x))cos(x)
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
-
que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫(1−u2)du
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Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1du=u
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−u2)du=−∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −3u3
El resultado es: −3u3+u
Si ahora sustituir u más en:
−3sin3(x)+sin(x)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
(1−sin2(x))cos(x)=−sin2(x)cos(x)+cos(x)
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−sin2(x)cos(x))dx=−∫sin2(x)cos(x)dx
-
que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Si ahora sustituir u más en:
3sin3(x)
Por lo tanto, el resultado es: −3sin3(x)
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(x)dx=sin(x)
El resultado es: −3sin3(x)+sin(x)
Método #3
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Vuelva a escribir el integrando:
(1−sin2(x))cos(x)=−sin2(x)cos(x)+cos(x)
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−sin2(x)cos(x))dx=−∫sin2(x)cos(x)dx
-
que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Si ahora sustituir u más en:
3sin3(x)
Por lo tanto, el resultado es: −3sin3(x)
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(x)dx=sin(x)
El resultado es: −3sin3(x)+sin(x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫3cos2(x)dx=3∫cos2(x)dx
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Vuelva a escribir el integrando:
cos2(x)=2cos(2x)+21
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Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(2x)dx=2∫cos(2x)dx
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(2x)
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+4sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 23x+43sin(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫3cos(x)dx=3∫cos(x)dx
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La integral del coseno es seno:
∫cos(x)dx=sin(x)
Por lo tanto, el resultado es: 3sin(x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1dx=x
El resultado es: 25x−3sin3(x)+4sin(x)+43sin(2x)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
(cos(x)+1)3=cos3(x)+3cos2(x)+3cos(x)+1
-
Integramos término a término:
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos3(x)=(1−sin2(x))cos(x)
-
que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫(1−u2)du
-
Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1du=u
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−u2)du=−∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −3u3
El resultado es: −3u3+u
Si ahora sustituir u más en:
−3sin3(x)+sin(x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫3cos2(x)dx=3∫cos2(x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(x)=2cos(2x)+21
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(2x)dx=2∫cos(2x)dx
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(2x)
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+4sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 23x+43sin(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫3cos(x)dx=3∫cos(x)dx
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(x)dx=sin(x)
Por lo tanto, el resultado es: 3sin(x)
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1dx=x
El resultado es: 25x−3sin3(x)+4sin(x)+43sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: πa3(25x−3sin3(x)+4sin(x)+43sin(2x))
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Ahora simplificar:
12πa3(30x+45sin(x)+9sin(2x)+sin(3x))
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Añadimos la constante de integración:
12πa3(30x+45sin(x)+9sin(2x)+sin(3x))+constant
Respuesta:
12πa3(30x+45sin(x)+9sin(2x)+sin(3x))+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| / 3 \
| 3 3 3 | sin (x) 3*sin(2*x) 5*x|
| pi*a *(1 + cos(x)) dx = C + pi*a *|4*sin(x) - ------- + ---------- + ---|
| \ 3 4 2 /
/
∫πa3(cos(x)+1)3dx=C+πa3(25x−3sin3(x)+4sin(x)+43sin(2x))
5π2a3
=
5π2a3
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.