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Resolución de integrales/ cos(x)/ pi*a^3*(1+cos(x))^3

Integral de pi*a^3*(1+cos(x))^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                      
   /                       
  |                        
  |      3             3   
  |  pi*a *(1 + cos(x))  dx
  |                        
 /                         
 0
∫02ππa3(cos⁡(x)+1)3 dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \pi a^{3} \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3}\, dx 
Integral((pi*a^3)*(1 + cos(x))^3, (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫πa3(cos⁡(x)+1)3 dx=πa3∫(cos⁡(x)+1)3 dx\int \pi a^{3} \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3}\, dx = \pi a^{3} \int \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (cos⁡(x)+1)3=cos⁡3(x)+3cos⁡2(x)+3cos⁡(x)+1\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3} = \cos^{3}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1

      2. Integramos término a término:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)=−sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u2 du\int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

            El resultado es: −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

          Método #3

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)=−sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u2 du\int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

            El resultado es: −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3cos⁡2(x) dx=3∫cos⁡2(x) dx\int 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 3x2+3sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3cos⁡(x) dx=3∫cos⁡(x) dx\int 3 \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(x)3 \sin{\left(x \right)}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: 5x2−sin⁡3(x)3+4sin⁡(x)+3sin⁡(2x)4\frac{5 x}{2} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (cos⁡(x)+1)3=cos⁡3(x)+3cos⁡2(x)+3cos⁡(x)+1\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3} = \cos^{3}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1

      2. Integramos término a término:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}

        2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3cos⁡2(x) dx=3∫cos⁡2(x) dx\int 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 3x2+3sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3cos⁡(x) dx=3∫cos⁡(x) dx\int 3 \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(x)3 \sin{\left(x \right)}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: 5x2−sin⁡3(x)3+4sin⁡(x)+3sin⁡(2x)4\frac{5 x}{2} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Por lo tanto, el resultado es: πa3(5x2−sin⁡3(x)3+4sin⁡(x)+3sin⁡(2x)4)\pi a^{3} \left(\frac{5 x}{2} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)

  2. Ahora simplificar:

    πa3(30x+45sin⁡(x)+9sin⁡(2x)+sin⁡(3x))12\frac{\pi a^{3} \left(30 x + 45 \sin{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}{12}

  3. Añadimos la constante de integración:

    πa3(30x+45sin⁡(x)+9sin⁡(2x)+sin⁡(3x))12+constant\frac{\pi a^{3} \left(30 x + 45 \sin{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

πa3(30x+45sin⁡(x)+9sin⁡(2x)+sin⁡(3x))12+constant\frac{\pi a^{3} \left(30 x + 45 \sin{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                          
 |                                    /              3                      \
 |     3             3              3 |           sin (x)   3*sin(2*x)   5*x|
 | pi*a *(1 + cos(x))  dx = C + pi*a *|4*sin(x) - ------- + ---------- + ---|
 |                                    \              3          4         2 /
/
∫πa3(cos⁡(x)+1)3 dx=C+πa3(5x2−sin⁡3(x)3+4sin⁡(x)+3sin⁡(2x)4)\int \pi a^{3} \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3}\, dx = C + \pi a^{3} \left(\frac{5 x}{2} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
    2  3
5*pi *a
5π2a35 \pi^{2} a^{3} 
=
= 
    2  3
5*pi *a
5π2a35 \pi^{2} a^{3} 
5*pi^2*a^3

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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