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Resolución de integrales/ e^(2*x)/ cos(4*x)/ e^(2*x)*cos(4*x)

Integral de e^(2*x)*cos(4*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |   2*x            
 |  E   *cos(4*x) dx
 |                  
/                   
0
∫01e2xcos⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{2 x} \cos{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral(E^(2*x)*cos(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=2xu = 2 x.

    Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

    ∫eucos⁡(2u)2 du\int \frac{e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫eucos⁡(2u) du=∫eucos⁡(2u) du2\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = \frac{\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando eucos⁡(2u)e^{u} \cos{\left(2 u \right)}:

          que u(u)=cos⁡(2u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces ∫eucos⁡(2u) du=eucos⁡(2u)−∫(−2eusin⁡(2u)) du\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(2 u \right)} - \int \left(- 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\right)\, du.

        2. Para el integrando −2eusin⁡(2u)- 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}:

          que u(u)=−2sin⁡(2u)u{\left(u \right)} = - 2 \sin{\left(2 u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces ∫eucos⁡(2u) du=2eusin⁡(2u)+eucos⁡(2u)+∫(−4eucos⁡(2u)) du\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)} + e^{u} \cos{\left(2 u \right)} + \int \left(- 4 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\right)\, du.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          5∫eucos⁡(2u) du=2eusin⁡(2u)+eucos⁡(2u)5 \int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)} + e^{u} \cos{\left(2 u \right)}

          Por lo tanto,

          ∫eucos⁡(2u) du=2eusin⁡(2u)5+eucos⁡(2u)5\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = \frac{2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{5} + \frac{e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: eusin⁡(2u)5+eucos⁡(2u)10\frac{e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{5} + \frac{e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{10}

    Si ahora sustituir uu más en:

    e2xsin⁡(4x)5+e2xcos⁡(4x)10\frac{e^{2 x} \sin{\left(4 x \right)}}{5} + \frac{e^{2 x} \cos{\left(4 x \right)}}{10}

  2. Ahora simplificar:

    (2sin⁡(4x)+cos⁡(4x))e2x10\frac{\left(2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{2 x}}{10}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (2sin⁡(4x)+cos⁡(4x))e2x10+constant\frac{\left(2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{2 x}}{10}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2sin⁡(4x)+cos⁡(4x))e2x10+constant\frac{\left(2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{2 x}}{10}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                         2*x                      2*x
 |  2*x                   e   *sin(4*x)   cos(4*x)*e   
 | E   *cos(4*x) dx = C + ------------- + -------------
 |                              5               10     
/
∫e2xcos⁡(4x) dx=C+e2xsin⁡(4x)5+e2xcos⁡(4x)10\int e^{2 x} \cos{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{e^{2 x} \sin{\left(4 x \right)}}{5} + \frac{e^{2 x} \cos{\left(4 x \right)}}{10}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        2                  2
  1    e *sin(4)   cos(4)*e 
- -- + --------- + ---------
  10       5           10
e2sin⁡(4)5+e2cos⁡(4)10−110\frac{e^{2} \sin{\left(4 \right)}}{5} + \frac{e^{2} \cos{\left(4 \right)}}{10} - \frac{1}{10} 
=
= 
        2                  2
  1    e *sin(4)   cos(4)*e 
- -- + --------- + ---------
  10       5           10
e2sin⁡(4)5+e2cos⁡(4)10−110\frac{e^{2} \sin{\left(4 \right)}}{5} + \frac{e^{2} \cos{\left(4 \right)}}{10} - \frac{1}{10} 
-1/10 + exp(2)*sin(4)/5 + cos(4)*exp(2)/10
Respuesta numérica [src] 
-1.70139215705513
-1.70139215705513

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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