Integral de 3*e^x/(3*e^x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 e^{x}$.

      Luego que $du = 3 e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u + 1}\, du$

      1. que $u = u + 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(3 e^{x} + 1 \right)}$

   Método #2

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $3 du$:

      $\int \frac{3}{3 u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 u + 1}\, du = 3 \int \frac{1}{3 u + 1}\, du$

         1. que $u = 3 u + 1$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(3 u + 1 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(3 u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(3 e^{x} + 1 \right)}$

   Método #3

   1. que $u = 3 e^{x} + 1$.

      Luego que $du = 3 e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(3 e^{x} + 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\log{\left(3 e^{x} + 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(3 e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(3 e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$