Integral de 4*x^(1/3)*(1-(4/x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(12 u^{3} - 48\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 u^{3}\, du = 12 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-48\right)\, du = - 48 u$

         El resultado es: $3 u^{4} - 48 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 x^{\frac{4}{3}} - 48 \sqrt[3]{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4 \sqrt[3]{x} \left(1 - \frac{4}{x}\right) = \frac{4 x^{\frac{4}{3}} - 16 \sqrt[3]{x}}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{16 u \sqrt[3]{\frac{1}{u}} - 4 \sqrt[3]{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{4 u - 16}{u^{\frac{2}{3}}}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 du}{3 u^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{24 u^{\frac{3}{2}} - 6}{u^{3}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{24 u^{\frac{3}{2}} - 6}{u^{3}} = - \frac{6}{u^{3}} + \frac{24}{u^{\frac{3}{2}}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{6}{u^{3}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{u^{2}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{24}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = 24 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{48}{\sqrt{u}}$

               El resultado es: $\frac{3}{u^{2}} - \frac{48}{\sqrt{u}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $3 u^{\frac{4}{3}} - 48 \sqrt[3]{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $3 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - 48 \sqrt[3]{\frac{1}{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 x^{\frac{4}{3}} - 48 \sqrt[3]{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4 \sqrt[3]{x} \left(1 - \frac{4}{x}\right) = 4 \sqrt[3]{x} - \frac{16}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \sqrt[3]{x}\, dx = 4 \int \sqrt[3]{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{\frac{4}{3}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{16}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\, dx = - 16 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 48 \sqrt[3]{x}$

      El resultado es: $3 x^{\frac{4}{3}} - 48 \sqrt[3]{x}$

2. Ahora simplificar:

   $3 \sqrt[3]{x} \left(x - 16\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $3 \sqrt[3]{x} \left(x - 16\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \sqrt[3]{x} \left(x - 16\right)+ \mathrm{constant}$