Sr Examen
Integral de (ax+b)÷(ax^2+2bx+c) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | a*x + b | ---------------- dx | 2 | a*x + 2*b*x + c | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{a x + b}{c + \left(a x^{2} + 2 b x\right)}\, dx$$
Integral((a*x + b)/(a*x^2 + (2*b)*x + c), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | a*x + b | ---------------- dx | 2 | a*x + 2*b*x + c | /
Reescribimos la función subintegral
/ 0 \
|------------|
/ 2*a*x + 2*b \ |/ 2 \|
|----------------| ||- b + a*c||
| 2 | ||----------||
a*x + b \a*x + 2*b*x + c/ \\ a //
---------------- = ------------------ + ---------------------------------------------------
2 2 2
a*x + 2*b*x + c / ____________ ____________\
| / 1 / 1 |
|-a* / ---------- *x - b* / ---------- | + 1
| / 2 / 2 |
\ \/ - b + a*c \/ - b + a*c / o
/ | | a*x + b | ---------------- dx | 2 = | a*x + 2*b*x + c | /
/
|
| 2*a*x + 2*b
| ---------------- dx
| 2
| a*x + 2*b*x + c
|
/
----------------------
2 En integral
/
|
| 2*a*x + 2*b
| ---------------- dx
| 2
| a*x + 2*b*x + c
|
/
----------------------
2 hacemos el cambio
2 u = a*x + 2*b*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| c + u
|
/ log(c + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*a*x + 2*b
| ---------------- dx
| 2
| a*x + 2*b*x + c
| / 2 \
/ log\c + a*x + 2*b*x/
---------------------- = ---------------------
2 2 En integral
0
hacemos el cambio
____________ ____________
/ 1 / 1
v = - b* / ---------- - a*x* / ----------
/ 2 / 2
\/ - b + a*c \/ - b + a*c entonces
integral =
True
hacemos cambio inverso
True
La solución:
/ 2 \
log\c + a*x + 2*b*x/
C + ---------------------
2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ | a*x + b log\a*x + 2*b*x + c/ | ---------------- dx = C + --------------------- | 2 2 | a*x + 2*b*x + c | /
$$\int \frac{a x + b}{c + \left(a x^{2} + 2 b x\right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(c + \left(a x^{2} + 2 b x\right) \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
log(a + c + 2*b) log(c)
---------------- - ------
2 2
$$- \frac{\log{\left(c \right)}}{2} + \frac{\log{\left(a + 2 b + c \right)}}{2}$$
=
=
log(a + c + 2*b) log(c)
---------------- - ------
2 2
$$- \frac{\log{\left(c \right)}}{2} + \frac{\log{\left(a + 2 b + c \right)}}{2}$$
log(a + c + 2*b)/2 - log(c)/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.