Integral de (x+cos(2x))^2 dx
Solución
Solución detallada
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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Vuelva a escribir el integrando:
(x+cos(2x))2=x2+2xcos(2x)+cos2(2x)
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Integramos término a término:
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Integral xn es n+1xn+1 when n=−1:
∫x2dx=3x3
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2xcos(2x)dx=2∫xcos(2x)dx
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Usamos la integración por partes:
∫udv=uv−∫vdu
que u(x)=x y que dv(x)=cos(2x).
Entonces du(x)=1.
Para buscar v(x):
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Ahora resolvemos podintegral.
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2sin(2x)dx=2∫sin(2x)dx
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2sin(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫sin(u)du=2∫sin(u)du
-
La integral del seno es un coseno menos:
∫sin(u)du=−cos(u)
Por lo tanto, el resultado es: −2cos(u)
Si ahora sustituir u más en:
−2cos(2x)
Método #2
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2sin(x)cos(x)dx=2∫sin(x)cos(x)dx
-
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
-
que u=cos(x).
Luego que du=−sin(x)dx y ponemos −du:
∫(−u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫udu=−∫udu
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫udu=2u2
Por lo tanto, el resultado es: −2u2
Si ahora sustituir u más en:
−2cos2(x)
Método #2
-
que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫udu
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫udu=2u2
Si ahora sustituir u más en:
2sin2(x)
Por lo tanto, el resultado es: −cos2(x)
Por lo tanto, el resultado es: −4cos(2x)
Por lo tanto, el resultado es: xsin(2x)+2cos(2x)
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2x)=2cos(4x)+21
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Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4x)dx=2∫cos(4x)dx
-
que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4x)
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+8sin(4x)
El resultado es: 3x3+xsin(2x)+2x+8sin(4x)+2cos(2x)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
(x+cos(2x))2=x2+2xcos(2x)+cos2(2x)
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Integramos término a término:
-
Integral xn es n+1xn+1 when n=−1:
∫x2dx=3x3
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2xcos(2x)dx=2∫xcos(2x)dx
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Usamos la integración por partes:
∫udv=uv−∫vdu
que u(x)=x y que dv(x)=cos(2x).
Entonces du(x)=1.
Para buscar v(x):
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Ahora resolvemos podintegral.
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2sin(2x)dx=2∫sin(2x)dx
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2sin(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫sin(u)du=2∫sin(u)du
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La integral del seno es un coseno menos:
∫sin(u)du=−cos(u)
Por lo tanto, el resultado es: −2cos(u)
Si ahora sustituir u más en:
−2cos(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −4cos(2x)
Por lo tanto, el resultado es: xsin(2x)+2cos(2x)
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Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2x)=2cos(4x)+21
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Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4x)dx=2∫cos(4x)dx
-
que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+8sin(4x)
El resultado es: 3x3+xsin(2x)+2x+8sin(4x)+2cos(2x)
-
Añadimos la constante de integración:
3x3+xsin(2x)+2x+8sin(4x)+2cos(2x)+constant
Respuesta:
3x3+xsin(2x)+2x+8sin(4x)+2cos(2x)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| 3
| 2 x cos(2*x) x sin(4*x)
| (x + cos(2*x)) dx = C + - + -------- + -- + -------- + x*sin(2*x)
| 2 2 3 8
/
∫(x+cos(2x))2dx=C+3x3+xsin(2x)+2x+8sin(4x)+2cos(2x)
Gráfica
3
pi pi
1 - -- - ---
4 24
−24π3−4π+1
=
3
pi pi
1 - -- - ---
4 24
−24π3−4π+1
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.