Sr Examen

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Integral de (x+cos(2x))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  0                   
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 |                    
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 |  (x + cos(2*x))  dx
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pi                    
--                    
2                     
π20(x+cos(2x))2dx\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0} \left(x + \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2}\, dx
Integral((x + cos(2*x))^2, (x, pi/2, 0))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+cos(2x))2=x2+2xcos(2x)+cos2(2x)\left(x + \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2} = x^{2} + 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2xcos(2x)dx=2xcos(2x)dx\int 2 x \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv(x)=cos(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          sin(2x)2dx=sin(2x)dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              sin(u)2du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                sin(u)du=sin(u)du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: cos(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              cos(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              2sin(x)cos(x)dx=2sin(x)cos(x)dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                Método #1

                1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                  Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

                  (u)du\int \left(- u\right)\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    udu=udu\int u\, du = - \int u\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                      udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: u22- \frac{u^{2}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

                Método #2

                1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                  Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                  udu\int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                    udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: cos2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: cos(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin(2x)+cos(2x)2x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      El resultado es: x33+xsin(2x)+x2+sin(4x)8+cos(2x)2\frac{x^{3}}{3} + x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+cos(2x))2=x2+2xcos(2x)+cos2(2x)\left(x + \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2} = x^{2} + 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2xcos(2x)dx=2xcos(2x)dx\int 2 x \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv(x)=cos(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          sin(2x)2dx=sin(2x)dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            sin(u)2du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=sin(u)du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: cos(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: cos(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin(2x)+cos(2x)2x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      El resultado es: x33+xsin(2x)+x2+sin(4x)8+cos(2x)2\frac{x^{3}}{3} + x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x33+xsin(2x)+x2+sin(4x)8+cos(2x)2+constant\frac{x^{3}}{3} + x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x33+xsin(2x)+x2+sin(4x)8+cos(2x)2+constant\frac{x^{3}}{3} + x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                  
 |                                          3                        
 |               2          x   cos(2*x)   x    sin(4*x)             
 | (x + cos(2*x))  dx = C + - + -------- + -- + -------- + x*sin(2*x)
 |                          2      2       3       8                 
/                                                                    
(x+cos(2x))2dx=C+x33+xsin(2x)+x2+sin(4x)8+cos(2x)2\int \left(x + \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2}\, dx = C + \frac{x^{3}}{3} + x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.502
Respuesta [src]
           3
    pi   pi 
1 - -- - ---
    4     24
π324π4+1- \frac{\pi^{3}}{24} - \frac{\pi}{4} + 1
=
=
           3
    pi   pi 
1 - -- - ---
    4     24
π324π4+1- \frac{\pi^{3}}{24} - \frac{\pi}{4} + 1
1 - pi/4 - pi^3/24
Respuesta numérica [src]
-1.07732635840994
-1.07732635840994

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.