Integral de sin(2x)cos(7x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(7 x \right)} = 64 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} - 112 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 56 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 64 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx = 64 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{8}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{64 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 112 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 112 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $16 \cos^{7}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 56 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 56 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{56 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 7 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 7 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         El resultado es: $- \frac{64 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 16 \cos^{7}{\left(x \right)} - \frac{56 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{7 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - \frac{112 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{14 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} = 128 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} - 224 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 112 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 14 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 128 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx = 128 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{8}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 224 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 224 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32 \cos^{7}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 112 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 112 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{112 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 14 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 14 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{14 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - \frac{112 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{14 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(- 320 \cos^{6}{\left(x \right)} + 720 \cos^{4}{\left(x \right)} - 504 \cos^{2}{\left(x \right)} + 105\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{45}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(- 320 \cos^{6}{\left(x \right)} + 720 \cos^{4}{\left(x \right)} - 504 \cos^{2}{\left(x \right)} + 105\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{45}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(- 320 \cos^{6}{\left(x \right)} + 720 \cos^{4}{\left(x \right)} - 504 \cos^{2}{\left(x \right)} + 105\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{45}+ \mathrm{constant}$