Integral de cos(3−x)cos(2+x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \cos{\left(u \right)} \cos{\left(u - 5 \right)}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)} \cos{\left(u - 5 \right)}\, du = - \int \cos{\left(u \right)} \cos{\left(u - 5 \right)}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos{\left(u \right)} \cos{\left(u - 5 \right)} = - 20 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + 5 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + 16 \sin^{5}{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} - 20 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} + 16 \cos^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} + 5 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 20 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 20 \sin^{3}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 5 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 5 \sin{\left(1 \right)} \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 16 \sin^{5}{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 16 \sin^{5}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 20 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\right)\, du = - 20 \cos^{3}{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 20 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 16 \cos^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du = 16 \cos^{5}{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $16 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 5 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du = 5 \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $5 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)}$

            El resultado es: $- 20 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 16 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + 5 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)} - 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} - \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{2} + 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + 20 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 5 \left(- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - 6 \right)}}{4} + \frac{3}{2}\right) \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - 6 \right)}}{4} + \frac{3}{2}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + 20 \left(- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - 6 \right)}}{4} + \frac{3}{2}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cos{\left(3 - x \right)} \cos{\left(x + 2 \right)} = - 6 \sin^{2}{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)} + 8 \sin^{4}{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)} - 3 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 8 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 12 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} - 10 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 8 \cos^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 \sin^{2}{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)}\right)\, dx = - 6 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 \sin^{4}{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)}\, dx = 8 \sin^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \sin{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \sin{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 12 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 10 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 10 \cos^{3}{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 10 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 \cos^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 8 \cos^{5}{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)}$

      El resultado es: $- 6 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 8 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - 10 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 8 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + 3 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)} - 6 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $5 \left(- 2 x - \sin{\left(2 x - 6 \right)} + 6\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 4 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + \frac{5 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos{\left(1 \right)}}{4} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $5 \left(- 2 x - \sin{\left(2 x - 6 \right)} + 6\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 4 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + \frac{5 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos{\left(1 \right)}}{4} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$5 \left(- 2 x - \sin{\left(2 x - 6 \right)} + 6\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 4 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + \frac{5 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos{\left(1 \right)}}{4} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}+ \mathrm{constant}$