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Resolución de integrales/ (3−x)/ (2+x)/ cos(3−x)cos(2+x)

Integral de cos(3−x)cos(2+x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                         
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 |  cos(3 - x)*cos(2 + x) dx
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0
∫01cos⁡(3−x)cos⁡(x+2) dx\int\limits_{0}^{1} \cos{\left(3 - x \right)} \cos{\left(x + 2 \right)}\, dx 
Integral(cos(3 - x)*cos(2 + x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3−xu = 3 - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

      ∫(−cos⁡(u)cos⁡(u−5)) du\int \left(- \cos{\left(u \right)} \cos{\left(u - 5 \right)}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u)cos⁡(u−5) du=−∫cos⁡(u)cos⁡(u−5) du\int \cos{\left(u \right)} \cos{\left(u - 5 \right)}\, du = - \int \cos{\left(u \right)} \cos{\left(u - 5 \right)}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡(u)cos⁡(u−5)=−20sin⁡3(1)sin⁡(u)cos⁡(u)+5sin⁡(1)sin⁡(u)cos⁡(u)+16sin⁡5(1)sin⁡(u)cos⁡(u)−20cos⁡3(1)cos⁡2(u)+16cos⁡5(1)cos⁡2(u)+5cos⁡(1)cos⁡2(u)\cos{\left(u \right)} \cos{\left(u - 5 \right)} = - 20 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + 5 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + 16 \sin^{5}{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} - 20 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} + 16 \cos^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} + 5 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−20sin⁡3(1)sin⁡(u)cos⁡(u)) du=−20sin⁡3(1)∫sin⁡(u)cos⁡(u) du\int \left(- 20 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 20 \sin^{3}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

            1. que u=cos⁡(u)u = \cos{\left(u \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(u)dudu = - \sin{\left(u \right)} du y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(u)2- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 10sin⁡3(1)cos⁡2(u)10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫5sin⁡(1)sin⁡(u)cos⁡(u) du=5sin⁡(1)∫sin⁡(u)cos⁡(u) du\int 5 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 5 \sin{\left(1 \right)} \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

            1. que u=cos⁡(u)u = \cos{\left(u \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(u)dudu = - \sin{\left(u \right)} du y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(u)2- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −5sin⁡(1)cos⁡2(u)2- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫16sin⁡5(1)sin⁡(u)cos⁡(u) du=16sin⁡5(1)∫sin⁡(u)cos⁡(u) du\int 16 \sin^{5}{\left(1 \right)} \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 16 \sin^{5}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

            1. que u=cos⁡(u)u = \cos{\left(u \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(u)dudu = - \sin{\left(u \right)} du y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(u)2- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −8sin⁡5(1)cos⁡2(u)- 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−20cos⁡3(1)cos⁡2(u)) du=−20cos⁡3(1)∫cos⁡2(u) du\int \left(- 20 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\right)\, du = - 20 \cos^{3}{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −20(u2+sin⁡(2u)4)cos⁡3(1)- 20 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫16cos⁡5(1)cos⁡2(u) du=16cos⁡5(1)∫cos⁡2(u) du\int 16 \cos^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du = 16 \cos^{5}{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: 16(u2+sin⁡(2u)4)cos⁡5(1)16 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫5cos⁡(1)cos⁡2(u) du=5cos⁡(1)∫cos⁡2(u) du\int 5 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du = 5 \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: 5(u2+sin⁡(2u)4)cos⁡(1)5 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)}

          El resultado es: −20(u2+sin⁡(2u)4)cos⁡3(1)+16(u2+sin⁡(2u)4)cos⁡5(1)+5(u2+sin⁡(2u)4)cos⁡(1)−8sin⁡5(1)cos⁡2(u)−5sin⁡(1)cos⁡2(u)2+10sin⁡3(1)cos⁡2(u)- 20 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 16 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + 5 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)} - 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} - \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{2} + 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −5(u2+sin⁡(2u)4)cos⁡(1)−16(u2+sin⁡(2u)4)cos⁡5(1)+20(u2+sin⁡(2u)4)cos⁡3(1)−10sin⁡3(1)cos⁡2(u)+5sin⁡(1)cos⁡2(u)2+8sin⁡5(1)cos⁡2(u)- 5 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + 20 \left(\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −5(−x2−sin⁡(2x−6)4+32)cos⁡(1)−16(−x2−sin⁡(2x−6)4+32)cos⁡5(1)+20(−x2−sin⁡(2x−6)4+32)cos⁡3(1)−10sin⁡3(1)cos⁡2(x−3)+5sin⁡(1)cos⁡2(x−3)2+8sin⁡5(1)cos⁡2(x−3)- 5 \left(- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - 6 \right)}}{4} + \frac{3}{2}\right) \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - 6 \right)}}{4} + \frac{3}{2}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + 20 \left(- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - 6 \right)}}{4} + \frac{3}{2}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡(3−x)cos⁡(x+2)=−6sin⁡2(1)sin⁡2(x)cos⁡(1)+8sin⁡4(1)sin⁡2(x)cos⁡(1)−3sin⁡(1)sin⁡(x)cos⁡(x)−8sin⁡3(1)sin⁡(x)cos⁡2(1)cos⁡(x)−8sin⁡(1)sin⁡(x)cos⁡4(1)cos⁡(x)+4sin⁡3(1)sin⁡(x)cos⁡(x)+12sin⁡(1)sin⁡(x)cos⁡2(1)cos⁡(x)−10cos⁡3(1)cos⁡2(x)+8cos⁡5(1)cos⁡2(x)+3cos⁡(1)cos⁡2(x)\cos{\left(3 - x \right)} \cos{\left(x + 2 \right)} = - 6 \sin^{2}{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)} + 8 \sin^{4}{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)} - 3 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 8 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 12 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} - 10 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 8 \cos^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6sin⁡2(1)sin⁡2(x)cos⁡(1)) dx=−6sin⁡2(1)cos⁡(1)∫sin⁡2(x) dx\int \left(- 6 \sin^{2}{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)}\right)\, dx = - 6 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −6(x2−sin⁡(2x)4)sin⁡2(1)cos⁡(1)- 6 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8sin⁡4(1)sin⁡2(x)cos⁡(1) dx=8sin⁡4(1)cos⁡(1)∫sin⁡2(x) dx\int 8 \sin^{4}{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)}\, dx = 8 \sin^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 8(x2−sin⁡(2x)4)sin⁡4(1)cos⁡(1)8 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡(1)sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−3sin⁡(1)∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \sin{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(1)cos⁡2(x)2\frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−8sin⁡3(1)sin⁡(x)cos⁡2(1)cos⁡(x)) dx=−8sin⁡3(1)cos⁡2(1)∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 8 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡3(1)cos⁡2(1)cos⁡2(x)4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−8sin⁡(1)sin⁡(x)cos⁡4(1)cos⁡(x)) dx=−8sin⁡(1)cos⁡4(1)∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 8 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \sin{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(1)cos⁡4(1)cos⁡2(x)4 \sin{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡3(1)sin⁡(x)cos⁡(x) dx=4sin⁡3(1)∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(1)cos⁡2(x)- 2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12sin⁡(1)sin⁡(x)cos⁡2(1)cos⁡(x) dx=12sin⁡(1)cos⁡2(1)∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 12 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 12 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −6sin⁡(1)cos⁡2(1)cos⁡2(x)- 6 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−10cos⁡3(1)cos⁡2(x)) dx=−10cos⁡3(1)∫cos⁡2(x) dx\int \left(- 10 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 10 \cos^{3}{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −10(x2+sin⁡(2x)4)cos⁡3(1)- 10 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8cos⁡5(1)cos⁡2(x) dx=8cos⁡5(1)∫cos⁡2(x) dx\int 8 \cos^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 8 \cos^{5}{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 8(x2+sin⁡(2x)4)cos⁡5(1)8 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡(1)cos⁡2(x) dx=3cos⁡(1)∫cos⁡2(x) dx\int 3 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2+sin⁡(2x)4)cos⁡(1)3 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)}

      El resultado es: −6(x2−sin⁡(2x)4)sin⁡2(1)cos⁡(1)+8(x2−sin⁡(2x)4)sin⁡4(1)cos⁡(1)−10(x2+sin⁡(2x)4)cos⁡3(1)+8(x2+sin⁡(2x)4)cos⁡5(1)+3(x2+sin⁡(2x)4)cos⁡(1)−6sin⁡(1)cos⁡2(1)cos⁡2(x)−2sin⁡3(1)cos⁡2(x)+4sin⁡(1)cos⁡4(1)cos⁡2(x)+4sin⁡3(1)cos⁡2(1)cos⁡2(x)+3sin⁡(1)cos⁡2(x)2- 6 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 8 \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - 10 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 8 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + 3 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos{\left(1 \right)} - 6 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    5(−2x−sin⁡(2x−6)+6)cos⁡3(1)+4(2x+sin⁡(2x−6)−6)cos⁡5(1)+5(2x+sin⁡(2x−6)−6)cos⁡(1)4−10sin⁡3(1)cos⁡2(x−3)+5sin⁡(1)cos⁡2(x−3)2+8sin⁡5(1)cos⁡2(x−3)5 \left(- 2 x - \sin{\left(2 x - 6 \right)} + 6\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 4 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + \frac{5 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos{\left(1 \right)}}{4} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    5(−2x−sin⁡(2x−6)+6)cos⁡3(1)+4(2x+sin⁡(2x−6)−6)cos⁡5(1)+5(2x+sin⁡(2x−6)−6)cos⁡(1)4−10sin⁡3(1)cos⁡2(x−3)+5sin⁡(1)cos⁡2(x−3)2+8sin⁡5(1)cos⁡2(x−3)+constant5 \left(- 2 x - \sin{\left(2 x - 6 \right)} + 6\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 4 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + \frac{5 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos{\left(1 \right)}}{4} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5(−2x−sin⁡(2x−6)+6)cos⁡3(1)+4(2x+sin⁡(2x−6)−6)cos⁡5(1)+5(2x+sin⁡(2x−6)−6)cos⁡(1)4−10sin⁡3(1)cos⁡2(x−3)+5sin⁡(1)cos⁡2(x−3)2+8sin⁡5(1)cos⁡2(x−3)+constant5 \left(- 2 x - \sin{\left(2 x - 6 \right)} + 6\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} + 4 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + \frac{5 \left(2 x + \sin{\left(2 x - 6 \right)} - 6\right) \cos{\left(1 \right)}}{4} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                                                                    2               
 |                                      5    /3   x   sin(-6 + 2*x)\         2            3        /3   x   sin(-6 + 2*x)\               2            5            3    /3   x   sin(-6 + 2*x)\   5*cos (-3 + x)*sin(1)
 | cos(3 - x)*cos(2 + x) dx = C - 16*cos (1)*|- - - - -------------| - 10*cos (-3 + x)*sin (1) - 5*|- - - - -------------|*cos(1) + 8*cos (-3 + x)*sin (1) + 20*cos (1)*|- - - - -------------| + ---------------------
 |                                           \2   2         4      /                               \2   2         4      /                                              \2   2         4      /             2          
/
∫cos⁡(3−x)cos⁡(x+2) dx=C−5(−x2−sin⁡(2x−6)4+32)cos⁡(1)−16(−x2−sin⁡(2x−6)4+32)cos⁡5(1)+20(−x2−sin⁡(2x−6)4+32)cos⁡3(1)−10sin⁡3(1)cos⁡2(x−3)+5sin⁡(1)cos⁡2(x−3)2+8sin⁡5(1)cos⁡2(x−3)\int \cos{\left(3 - x \right)} \cos{\left(x + 2 \right)}\, dx = C - 5 \left(- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - 6 \right)}}{4} + \frac{3}{2}\right) \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - 6 \right)}}{4} + \frac{3}{2}\right) \cos^{5}{\left(1 \right)} + 20 \left(- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - 6 \right)}}{4} + \frac{3}{2}\right) \cos^{3}{\left(1 \right)} - 10 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}}{2} + 8 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
cos(2)*cos(3)   cos(2)*sin(3)   cos(3)*sin(2)   sin(2)*sin(3)
------------- + ------------- - ------------- - -------------
      2               2               2               2
−sin⁡(2)sin⁡(3)2+sin⁡(3)cos⁡(2)2+cos⁡(2)cos⁡(3)2−sin⁡(2)cos⁡(3)2- \frac{\sin{\left(2 \right)} \sin{\left(3 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{2} 
=
= 
cos(2)*cos(3)   cos(2)*sin(3)   cos(3)*sin(2)   sin(2)*sin(3)
------------- + ------------- - ------------- - -------------
      2               2               2               2
−sin⁡(2)sin⁡(3)2+sin⁡(3)cos⁡(2)2+cos⁡(2)cos⁡(3)2−sin⁡(2)cos⁡(3)2- \frac{\sin{\left(2 \right)} \sin{\left(3 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{2} 
cos(2)*cos(3)/2 + cos(2)*sin(3)/2 - cos(3)*sin(2)/2 - sin(2)*sin(3)/2
Respuesta numérica [src] 
0.562566585135561
0.562566585135561

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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