Integral de cosxln(1+cosx) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                          
  /                          
 |                           
 |  cos(x)*log(1 + cos(x)) dx
 |                           
/                            
0

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(cos(x)*log(1 + cos(x)), (x, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. La integral del coseno es seno:
  
  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx$
1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
  
  Pero la integral
  
  $\frac{x \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \frac{x}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} - \frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}$
Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} - \frac{x}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}$
Ahora simplificar:

$x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                                                                 /x\          2/x\ 
  /                                                                         2*tan|-|     x*tan |-| 
 |                                      x                                        \2/           \2/ 
 | cos(x)*log(1 + cos(x)) dx = C + ----------- + log(1 + cos(x))*sin(x) - ----------- + -----------
 |                                        2/x\                                   2/x\          2/x\
/                                  1 + tan |-|                            1 + tan |-|   1 + tan |-|
                                           \2/                                    \2/           \2/

$$\int \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \frac{x}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                                                     /                         2       \         
                                                     |          1           tan (1/2)  |         
                                                2*log|1 + ------------- - -------------|*tan(1/2)
                     2                               |           2               2     |         
      1           tan (1/2)       2*tan(1/2)         \    1 + tan (1/2)   1 + tan (1/2)/         
------------- + ------------- - ------------- + -------------------------------------------------
       2               2               2                                 2                       
1 + tan (1/2)   1 + tan (1/2)   1 + tan (1/2)                     1 + tan (1/2)

$$- \frac{2 \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1} + \frac{2 \log{\left(- \frac{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1} + \frac{1}{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1} + 1 \right)} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1} + \frac{1}{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1}$$

                                                     /                         2       \         
                                                     |          1           tan (1/2)  |         
                                                2*log|1 + ------------- - -------------|*tan(1/2)
                     2                               |           2               2     |         
      1           tan (1/2)       2*tan(1/2)         \    1 + tan (1/2)   1 + tan (1/2)/         
------------- + ------------- - ------------- + -------------------------------------------------
       2               2               2                                 2                       
1 + tan (1/2)   1 + tan (1/2)   1 + tan (1/2)                     1 + tan (1/2)

1/(1 + tan(1/2)^2) + tan(1/2)^2/(1 + tan(1/2)^2) - 2*tan(1/2)/(1 + tan(1/2)^2) + 2*log(1 + 1/(1 + tan(1/2)^2) - tan(1/2)^2/(1 + tan(1/2)^2))*tan(1/2)/(1 + tan(1/2)^2)

Respuesta numérica [src]

0.522026557021557

0.522026557021557

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de cosxln(1+cosx) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución